Capítulo 2Variáveis Aleatórias e Distribuições

No Capítulo 1, discutimos o modelo de probabilidade¹ como o objeto central de estudo da teoria da probabilidade. Isso exigiu definir uma medida de probabilidade² \(P\) numa classe de subconjuntos do espaço amostral³ \(S\). Acontece que há maneiras mais simples de apresentar uma atribuição particular de probabilidades do que essa — maneiras com as quais é muito mais conveniente trabalhar do que com \(P\). Este capítulo trata das definições de variáveis aleatórias, funções de distribuição, funções de probabilidade e funções densidade, e do desenvolvimento dos conceitos necessários para fazer cálculos num modelo de probabilidade usando essas entidades. Este capítulo também discute o conceito de distribuição condicional⁴ de uma variável aleatória⁵, dados os valores de outras. As distribuições condicionais de variáveis aleatórias fornecem a estrutura para discutir o que significa dizer que variáveis estão relacionadas, o que é importante em muitas aplicações da probabilidade e da estatística.

2.1 Variáveis Aleatórias

O capítulo anterior explicou como construir modelos de probabilidade, incluindo um espaço amostral \(S\) e uma medida de probabilidade \(P\). Uma vez que temos um modelo de probabilidade, podemos definir variáveis aleatórias para esse modelo de probabilidade.

Intuitivamente, uma variável aleatória atribui um valor numérico a cada resultado possível do espaço amostral. Por exemplo, se o espaço amostral é \(\{\text{chuva}, \allowbreak\text{neve}, \allowbreak\text{limpo}\}\), então poderíamos definir uma variável aleatória \(X\) tal que \(X = 3\) se chover, \(X = 6\) se nevar e \(X = -2{,}7\) se o tempo estiver limpo.

Mais formalmente, temos a definição a seguir.

A Figura 2.1.1 dá uma representação gráfica de uma variável aleatória \(X\) que leva um valor de resposta \(s \in S\) num número real \(X(s) \in R^1\).

Apresentamos agora mais alguns exemplos. A questão é que podemos definir variáveis aleatórias como quisermos, desde que sejam funções do espaço amostral em \(R^1\).

Dadas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\), podemos fazer com elas as operações aritméticas usuais. Assim, por exemplo, \(Z = X^2\) é outra variável aleatória, definida por \(Z(s) = X^2(s) = (X(s))^2 = X(s) \times X(s)\). Da mesma forma, se \(W = XY^3\), então \(W(s) = X(s) \times Y(s) \times Y(s) \times Y(s)\) etc. Além disso, se \(Z = X + Y\), então \(Z(s) = X(s) + Y(s)\) etc.

Escrevemos \(X = Y\) para indicar que \(X(s) = Y(s)\) para todo \(s \in S\). Da mesma forma, escrevemos \(X \leq Y\) para indicar que \(X(s) \leq Y(s)\) para todo \(s \in S\), e \(X \geq Y\) para indicar que \(X(s) \geq Y(s)\) para todo \(s \in S\). Por exemplo, escrevemos \(X \leq c\) para indicar que \(X(s) \leq c\) para todo \(s \in S\).

Se \(S\) é infinito, então uma variável aleatória \(X\) pode assumir infinitos valores diferentes.

Por fim, suponha que \(X\) seja uma variável aleatória. Sabemos que estados \(s\) diferentes ocorrem com probabilidades diferentes. Segue-se que \(X(s)\) também assume valores diferentes com probabilidades diferentes. Essas probabilidades são chamadas de distribuição de \(X\); vamos tratar delas a seguir.

Exercícios

2.1.1 Seja \(S = \{1, 2, 3, \ldots\}\) e sejam \(X(s) = s^2\) e \(Y(s) = 1/s\) para \(s \in S\). Para cada uma das quantidades a seguir, determine (com justificativa) se ela existe ou não. Se existir, dê o seu valor. (a) \(\min_{s \in S} X(s)\)(b) \(\max_{s \in S} X(s)\)(c) \(\min_{s \in S} Y(s)\)(d) \(\max_{s \in S} Y(s)\)

2.1.2 Seja \(S = \{\text{alto}, \allowbreak\text{médio}, \allowbreak\text{baixo}\}\). Defina as variáveis aleatórias \(X\), \(Y\) e \(Z\) por \(X(\text{alto}) = -12\), \(X(\text{médio}) = -2\), \(X(\text{baixo}) = 3\), \(Y(\text{alto}) = 0\), \(Y(\text{médio}) = 0\), \(Y(\text{baixo}) = 1\), \(Z(\text{alto}) = 6\), \(Z(\text{médio}) = 0\), \(Z(\text{baixo}) = 4\). Determine se cada uma das relações a seguir é verdadeira ou falsa. (a) \(X < Y\)(b) \(X \leq Y\)(c) \(Y < Z\)(d) \(Y \leq Z\)(e) \(XY < Z\)(f) \(XY \leq Z\)

2.1.3 Seja \(S = \{1, 2, 3, 4, 5\}\). (a) Defina duas variáveis aleatórias não constantes diferentes (isto é, não iguais), \(X\) e \(Y\), em \(S\).(b) Para as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) que você escolheu, seja \(Z = X + Y^2\). Calcule \(Z(s)\) para todo \(s \in S\).

2.1.4 Considere o lançamento de um dado honesto de seis faces, de modo que \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Sejam \(X(s) = s\) e \(Y(s) = s^3 + 2\). Seja \(Z = XY\). Calcule \(Z(s)\) para todo \(s \in S\).

2.1.5 Sejam \(A\) e \(B\) eventos e seja \(X = I_A \cdot I_B\). \(X\) é uma função indicadora? Se for, de que evento?

2.1.6 Sejam \(S = \{1, 2, 3, 4\}\), \(X = I_{\{1, 2\}}\), \(Y = I_{\{2, 3\}}\) e \(Z = I_{\{3, 4\}}\). Seja \(W = X + Y + Z\). (a) Calcule \(W(1)\).(b) Calcule \(W(2)\).(c) Calcule \(W(4)\).(d) Determine se \(W \geq Z\) ou não.

2.1.7 Sejam \(S = \{1, 2, 3\}\), \(X = I_{\{1\}}\), \(Y = I_{\{2, 3\}}\) e \(Z = I_{\{1, 2\}}\). Seja \(W = X - Y + Z\). (a) Calcule \(W(1)\).(b) Calcule \(W(2)\).(c) Calcule \(W(3)\).(d) Determine se \(W \geq Z\) ou não.

2.1.8 Sejam \(S = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(X = I_{\{1, 2, 3\}}\), \(Y = I_{\{2, 3\}}\) e \(Z = I_{\{3, 4, 5\}}\). Seja \(W = X - Y + Z\). (a) Calcule \(W(1)\).(b) Calcule \(W(2)\).(c) Calcule \(W(5)\).(d) Determine se \(W \geq Z\) ou não.

2.1.9 Sejam \(S = \{1, 2, 3, 4\}\), \(X = I_{\{1, 2\}}\) e \(Y(s) = s^2 X(s)\). (a) Calcule \(Y(1)\).(b) Calcule \(Y(2)\).(c) Calcule \(Y(4)\).

Problemas

2.1.10 Seja \(X\) uma variável aleatória. (a) É necessariamente verdade que \(X \geq 0\)?(b) É necessariamente verdade que existe algum número real \(c\) tal que \(X + c \geq 0\)?(c) Suponha que o espaço amostral \(S\) seja finito. Então é necessariamente verdade que existe algum número real \(c\) tal que \(X + c \geq 0\)?

2.1.11 Suponha que o espaço amostral \(S\) seja finito. É possível definir uma variável aleatória ilimitada em \(S\)? Por quê?

2.1.12 Suponha que \(X\) seja uma variável aleatória que assume apenas os valores 0 ou 1. \(X\) tem de ser uma função indicadora? Explique.

2.1.13 Suponha que o espaço amostral \(S\) seja finito, de tamanho \(m\). Quantas funções indicadoras diferentes podem ser definidas em \(S\)?

2.1.14 Suponha que \(X\) seja uma variável aleatória. Seja \(Y = \sqrt{X}\). \(Y\) tem de ser uma variável aleatória? Explique.

Tópicos para discussão

2.1.15 A teoria matemática da probabilidade foi apresentada ao mundo de língua inglesa em grande parte por dois matemáticos americanos, William Feller e Joe Doob, que escreviam no início dos anos 1950. Segundo o professor Doob, os dois tiveram uma discussão sobre se as variáveis aleatórias deveriam se chamar “random variables” (variáveis aleatórias) ou “chance variables” (variáveis de acaso). Eles decidiram jogando uma moeda — e “random variables” venceu. (Fonte: Statistical Science 12 (1997), n.º 4, página 307.) Qual nome você acha que teria sido uma escolha melhor?

2.2 Distribuições de Variáveis Aleatórias

Como as variáveis aleatórias são definidas como funções do resultado \(s\), e como se supõe que o resultado \(s\) seja aleatório (isto é, que assuma valores diferentes com probabilidades diferentes), segue-se que o valor de uma variável aleatória também será aleatório (como o nome indica).

Mais especificamente, se \(X\) é uma variável aleatória, qual é a probabilidade de \(X\) ser igual a algum valor particular \(x\)? Bem, \(X = x\) exatamente quando o resultado \(s\) escolhido é tal que \(X(s) = x\).

Vemos por este exemplo que, se \(B\) é um subconjunto qualquer dos números reais, então \(P(X \in B) = P(\{s \in S : X(s) \in B\})\). Além disso, entender bem \(X\) exige conhecer as probabilidades \(P(X \in B)\) para diferentes subconjuntos \(B\). Essa é a motivação da definição a seguir.

Em termos rigorosos, exige-se que \(B\) seja um subconjunto de Borel¹⁰, o que é uma restrição técnica da teoria da medida¹¹ com a qual não precisamos nos preocupar aqui. Qualquer subconjunto que pudéssemos escrever é um subconjunto de Borel.

Na Figura 2.2.1, damos uma representação gráfica de como calculamos a distribuição de uma variável aleatória \(X\). Para um conjunto \(B\), precisamos encontrar os elementos \(s \in S\) tais que \(X(s) \in B\). Esses elementos são dados pelo conjunto \(\{s \in S : X(s) \in B\}\). Em seguida, calculamos a probabilidade \(P(\{s \in S : X(s) \in B\})\). Precisamos fazer isso para todo subconjunto \(B \subset R^1\).

Embora os exemplos acima mostrem que é possível acompanhar \(P(X \in B)\) para todos os subconjuntos \(B\) dos números reais, eles também indicam que fazer isso é bastante trabalhoso. Felizmente, há funções mais simples disponíveis para nos ajudar a acompanhar distribuições de probabilidade, entre elas as funções de distribuição acumulada, as funções de probabilidade e as funções densidade. Vamos tratar delas a seguir.

Exercícios

2.2.1 Considere o lançamento de duas moedas honestas independentes. Seja \(X\) o número de caras que aparecem. Calcule \(P(X = x)\) para todo número real \(x\).

2.2.2 Suponha que lançamos três moedas honestas e seja \(X\) o número de caras obtidas. (a) Calcule \(P(X = x)\) para todo número real \(x\).(b) Escreva uma fórmula para \(P(X \in B)\), para qualquer subconjunto \(B\) dos números reais.

2.2.3 Suponha que lançamos dois dados honestos de seis faces e seja \(Y\) a soma dos dois números obtidos. (a) Calcule \(P(Y = y)\) para todo número real \(y\).(b) Escreva uma fórmula para \(P(Y \in B)\), para qualquer subconjunto \(B\) dos números reais.

2.2.4 Suponha que lançamos um dado honesto de seis faces e seja \(Z\) o número obtido. Sejam \(W = Z^3 + 4\) e \(V = \sqrt{Z}\). (a) Calcule \(P(W = w)\) para todo número real \(w\).(b) Calcule \(P(V = v)\) para todo número real \(v\).(c) Calcule \(P(ZW = x)\) para todo número real \(x\).(d) Calcule \(P(VW = y)\) para todo número real \(y\).(e) Calcule \(P(V + W = r)\) para todo número real \(r\).

2.2.5 Suponha que uma tigela contenha 100 fichas: 30 marcadas com 1, 20 marcadas com 2 e 50 marcadas com 3. As fichas são bem misturadas, uma ficha é retirada e o número \(X\) da ficha é anotado. (a) Calcule \(P(X = x)\) para todo número real \(x\).(b) Suponha que a primeira ficha seja devolvida, uma segunda ficha seja retirada e o número \(Y\) da ficha seja anotado. Calcule \(P(Y = y)\) para todo número real \(y\).(c) Calcule \(P(W = w)\) para todo número real \(w\) quando \(W = X + Y\).

2.2.6 Suponha que um baralho comum de 52 cartas seja bem embaralhado e que uma única carta seja retirada. Suponha que um ás valha 1, um valete valha 11, uma dama valha 12 e um rei valha 13. (a) Calcule \(P(X = x)\) para todo número real \(x\), quando \(X\) é o valor da carta retirada.(b) Suponha que \(Y = 1, 2, 3\) ou 4 quando sai uma carta de ouros, copas, paus ou espadas, respectivamente. Calcule \(P(Y = y)\) para todo número real \(y\).(c) Calcule \(P(W = w)\) para todo número real \(w\) quando \(W = X + Y\).

2.2.7 Suponha que uma universidade seja composta de 55% de alunas e 45% de alunos. Um estudante é selecionado para responder a um questionário. Há 25 perguntas no questionário aplicado a um aluno e 30 perguntas no questionário aplicado a uma aluna. Se \(X\) denota o número de perguntas respondidas por um estudante selecionado ao acaso, calcule \(P(X = x)\) para todo número real \(x\).

2.2.8 Suponha que uma tigela contenha 10 fichas, numeradas de 0 a 9, cada uma com um número diferente. As fichas são bem misturadas, uma é retirada e o número nela, \(X_1\), é anotado. Essa ficha é então devolvida à tigela. Uma segunda ficha é retirada e o número nela, \(X_2\), é anotado. Calcule \(P(W = w)\) para todo número real \(w\) quando \(W = X_1 + 10X_2\).

Problemas

2.2.9 Suponha que uma tigela contenha 10 fichas, numeradas de 0 a 9, cada uma com um número diferente. As fichas são bem misturadas, uma é retirada e o número nela, \(X_1\), é anotado. Essa ficha não é devolvida à tigela. Uma segunda ficha é retirada e o número nela, \(X_2\), é anotado. Calcule \(P(W = w)\) para todo número real \(w\) quando \(W = X_1 + 10X_2\).

Desafios

2.2.10 Suponha que Alice lance três moedas honestas e seja \(X\) o número de caras obtidas. Suponha que Barbara lance cinco moedas honestas e seja \(Y\) o número de caras obtidas. Seja \(Z = X - Y\). Calcule \(P(Z = z)\) para todo número real \(z\).

2.3 Distribuições Discretas

Para muitas variáveis aleatórias \(X\), temos \(P(X = x) > 0\) para certos valores de \(x\). Isso significa que há probabilidade positiva de a variável ser igual a certos valores particulares.

Se \[ \sum_{x \in R^1} P(X = x) = 1, \] então toda a probabilidade associada à variável aleatória \(X\) pode ser obtida a partir da probabilidade de \(X\) ser igual a certos valores particulares. Isso motiva a definição a seguir.

À primeira vista, poderíamos esperar que (2.3.1) valesse para qualquer variável aleatória. No entanto, (2.3.1) não vale para a distribuição uniforme¹² em \([0, 1]\) nem para outras distribuições contínuas, como veremos na próxima seção.

Variáveis aleatórias que satisfazem (2.3.1) são simples, em certo sentido, porque podemos entendê-las completamente apenas entendendo suas probabilidades de serem iguais a valores particulares \(x\). De fato, simplesmente listando todos os valores possíveis \(x\) tais que \(P(X = x) > 0\), obtemos uma segunda definição, equivalente, como segue.

Essa segunda definição também sugere como registrar distribuições discretas. Ela motiva a definição a seguir.

Portanto, se \(x_1, x_2, \ldots\) são os valores distintos tais que \(P(X = x_i) = p_i\) para todo \(i\), com \(\sum_i p_i = 1\), então \[ p_X(x) = \begin{cases} p_i & x = x_i \text{ para algum } i\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \]

Evidentemente, toda a informação sobre a distribuição de \(X\) está contida em sua função de probabilidade, mas só se soubermos que \(X\) é uma variável aleatória discreta.

Por fim, observamos que o Teorema 1.5.1 implica imediatamente o seguinte.

2.3.1 Distribuições Discretas Importantes

Certas distribuições discretas particulares são tão importantes que as listamos aqui.

Suponha que, no Exemplo 2.3.7, tivéssemos reposto a bola retirada antes de retirar a bola seguinte. Isso se chama amostragem com reposição²⁴. Fica então claro, pelo Exemplo 2.3.3, que o número de bolas brancas observadas em \(n\) retiradas tem distribuição Binomial\((n, M/N)\).

Exercícios

2.3.1 Considere o lançamento de dois dados honestos de seis faces. Seja \(Y\) a soma dos números obtidos. Qual é a função de probabilidade de \(Y\)?

2.3.2 Considere o lançamento de uma moeda honesta. Seja \(Z = 1\) se a moeda der cara e \(Z = 3\) se der coroa. Seja \(W = Z^2 + Z\). (a) Qual é a função de probabilidade de \(Z\)?(b) Qual é a função de probabilidade de \(W\)?

2.3.3 Considere o lançamento de duas moedas honestas. Seja \(X = 1\) se a primeira moeda der cara e \(X = 0\) se a primeira moeda der coroa. Seja \(Y = 1\) se a segunda moeda der cara e \(Y = 5\) se a segunda moeda der coroa. Seja \(Z = XY\). Qual é a função de probabilidade de \(Z\)?

2.3.4 Considere o lançamento de duas moedas honestas. Seja \(X = 1\) se a primeira moeda der cara e \(X = 0\) se a primeira moeda der coroa. Seja \(Y = 1\) se as duas moedas mostrarem a mesma face (isto é, as duas cara ou as duas coroa), com \(Y = 0\) caso contrário. Seja \(Z = X + Y\) e \(W = XY\). (a) Qual é a função de probabilidade de \(Z\)?(b) Qual é a função de probabilidade de \(W\)?

2.3.5 Considere o lançamento de dois dados honestos de seis faces. Seja \(W\) o produto dos números obtidos. Qual é a função de probabilidade de \(W\)?

2.3.6 Seja \(Z \sim \text{Geométrica}(\theta)\). Calcule \(P(5 \leq Z \leq 9)\).

2.3.7 Seja \(X \sim \text{Binomial}(12, \theta)\). Para que valor de \(\theta\) a probabilidade \(P(X = 11)\) é máxima?

2.3.8 Seja \(W \sim \text{Poisson}(\lambda)\). Para que valor de \(\lambda\) a probabilidade \(P(W = 11)\) é máxima?

2.3.9 Seja \(Z \sim \text{Binomial Negativa}(3, 1/4)\). Calcule \(P(Z \leq 2)\).

2.3.10 Seja \(X \sim \text{Geométrica}(1/5)\). Calcule \(P(X^2 \leq 15)\).

2.3.11 Seja \(Y \sim \text{Binomial}(10, \theta)\). Calcule \(P(Y = 10)\).

2.3.12 Seja \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\). Seja \(Y = X - 7\). Qual é a função de probabilidade de \(Y\)?

2.3.13 Seja \(X \sim \text{Hipergeométrica}(20, 7, 8)\). Qual é a probabilidade de \(X = 3\)? Qual é a probabilidade de \(X = 8\)?

2.3.14 Suponha que um dado simétrico seja lançado 20 vezes de forma independente e que, a cada vez, registremos se o evento \(\{2, 3, 5, 6\}\) ocorreu ou não. (a) Qual é a distribuição do número de vezes que esse evento ocorre em 20 lançamentos?(b) Calcule a probabilidade de o evento ocorrer cinco vezes.

2.3.15 Suponha que um jogador de basquete acerte a cesta, de certa posição da quadra, com probabilidade \(0{,}35\). (a) Qual é a probabilidade de o jogador acertar três cestas em 10 arremessos independentes?(b) Qual é a probabilidade de o jogador fazer sua primeira cesta na décima tentativa?(c) Qual é a probabilidade de o jogador fazer sua segunda cesta na décima tentativa?

2.3.16 Uma urna contém 4 bolas pretas e 5 bolas brancas. Depois de uma boa mistura, uma bola é retirada da urna, sua cor é anotada e a bola é devolvida à urna. (a) Qual é a probabilidade de se observarem 5 bolas pretas em 15 retiradas como essa?(b) Qual é a probabilidade de serem necessárias 15 retiradas até que se observe a primeira bola preta?(c) Qual é a probabilidade de se fazerem 15 retiradas com 5 bolas pretas observadas e de a quinta bola preta ser observada na 15ª retirada?

2.3.17 Uma urna contém 4 bolas pretas e 5 bolas brancas. Depois de uma boa mistura, uma bola é retirada da urna, sua cor é anotada e a bola é posta de lado. As bolas restantes são então misturadas e uma segunda bola é retirada. (a) Qual é a distribuição de probabilidade do número de bolas pretas observadas?(b) Qual é a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas observadas?

2.3.18 (Processos de Poisson e filas) Considere uma situação que envolva um atendente, por exemplo, um caixa numa lanchonete de fast-food, um caixa eletrônico de banco, uma central telefônica etc. Em geral, as unidades chegam para atendimento de forma aleatória e formam uma fila quando o atendente está ocupado. Muitas vezes, o número de chegadas ao atendente, para alguma unidade de tempo específica \(t\), pode ser modelado por uma distribuição Poisson\((\lambda t)\) e é tal que os números de chegadas em períodos que não se sobrepõem são independentes. No Capítulo 3, mostraremos que \(\lambda t\) é o número médio de chegadas durante um período de tempo de duração \(t\) e, portanto, que \(\lambda\) é a taxa de chegadas por unidade de tempo.

Suponha que chamadas telefônicas cheguem a uma linha de atendimento à taxa de duas por minuto. Um processo de Poisson²⁵ fornece um bom modelo. (a) Qual é a probabilidade de chegarem cinco chamadas nos próximos 2 minutos?(b) Qual é a probabilidade de chegarem cinco chamadas nos próximos 2 minutos e, depois, mais cinco chamadas nos 2 minutos seguintes?(c) Qual é a probabilidade de não chegar nenhuma chamada durante um período de 10 minutos?

2.3.19 Suponha que uma urna contenha 1000 bolas, uma delas preta e as outras 999 brancas. Suponha que 100 bolas sejam retiradas da urna ao acaso, com reposição. Use a distribuição de Poisson apropriada para aproximar a probabilidade de se observarem cinco bolas pretas.

2.3.20 Suponha que haja um laço num programa de computador e que o teste para sair do laço dependa do valor de uma variável aleatória \(X\). O programa sai do laço sempre que \(X \in A\), e isso ocorre com probabilidade \(1/3\). Se o laço é executado pelo menos uma vez, qual é a probabilidade de o laço ser executado cinco vezes antes de sair?

Exercícios computacionais

2.3.21 Tabule e faça o gráfico da função de probabilidade Hipergeométrica\((20, 8, 10)\).

2.3.22 Tabule e faça o gráfico da função de probabilidade Binomial\((30; 0{,}3)\). Tabule e faça o gráfico da função de probabilidade Binomial\((30; 0{,}7)\). Explique por que a função de probabilidade Binomial\((30; 0{,}3)\) em \(x\) coincide com a função de probabilidade Binomial\((30; 0{,}7)\) em \(n - x\).

Problemas

2.3.23 Seja \(X\) uma variável aleatória discreta com função de probabilidade \(p_X(x) = 2^{-x}\) para \(x = 1, 2, 3, \ldots\), com \(p_X(x) = 0\) caso contrário. (a) Seja \(Y = X^2\). Qual é a função de probabilidade \(p_Y\) de \(Y\)?(b) Seja \(Z = X - 1\). Qual é a distribuição de \(Z\)? (Identifique a distribuição pelo nome e especifique os valores de todos os parâmetros.)

2.3.24 Sejam \(X \sim \text{Binomial}(n_1, \theta)\) e \(Y \sim \text{Binomial}(n_2, \theta)\), com \(X\) e \(Y\) escolhidas de forma independente. Seja \(Z = X + Y\). Qual será a distribuição de \(Z\)? (Explique seu raciocínio.) (Sugestão: veja o fim do Exemplo 2.3.3.)

2.3.25 Sejam \(X \sim \text{Geométrica}(\theta)\) e \(Y \sim \text{Geométrica}(\theta)\), com \(X\) e \(Y\) escolhidas de forma independente. Seja \(Z = X + Y\). Qual será a distribuição de \(Z\)? Generalize isso para \(r\) moedas. (Explique seu raciocínio.)

2.3.26 Sejam \(X \sim \text{Geométrica}(\theta_1)\) e \(Y \sim \text{Geométrica}(\theta_2)\), com \(X\) e \(Y\) escolhidas de forma independente. Calcule \(P(X \leq Y)\). Explique o que essa probabilidade significa em termos de lançamentos de moedas.

2.3.27 Suponha que \(X_n \sim \text{Geométrica}(\lambda / n)\). Calcule \(\lim_{n \to \infty} P(X_n \leq n)\).

2.3.28 Sejam \(X \sim \text{Binomial Negativa}(r, \theta)\) e \(Y \sim \text{Binomial Negativa}(s, \theta)\), com \(X\) e \(Y\) escolhidas de forma independente. Seja \(Z = X + Y\). Qual será a distribuição de \(Z\)? (Explique seu raciocínio.)

2.3.29 (Distribuição hipergeométrica generalizada) Suponha que um conjunto contenha \(N\) objetos, \(M_1\) dos quais rotulados com 1, \(M_2\) rotulados com 2 e os restantes rotulados com 3. Suponha que selecionamos uma amostra de \(n \leq N\) objetos do conjunto usando amostragem sem reposição, como descrito no Exemplo 2.3.7. Determine a probabilidade de obtermos as contagens \((f_1, f_2, f_3)\), em que \(f_i\) é o número de objetos rotulados com \(i\) na amostra.

2.3.30 Suponha que unidades cheguem a um atendente segundo um processo de Poisson com taxa \(\lambda\) (veja o Exercício 2.3.18). Seja \(T\) o tempo até a primeira chegada. Calcule \(P(T > t)\).

2.4 Distribuições Contínuas

Na seção anterior, consideramos variáveis aleatórias discretas \(X\) para as quais \(P(X = x) > 0\) para certos valores de \(x\). No entanto, para algumas variáveis aleatórias \(X\), como uma que tenha a distribuição uniforme, temos \(P(X = x) = 0\) para todo \(x\). Isso motiva a definição a seguir.

A distribuição Uniforme\([0, 1]\) é bastante fácil de manipular. No entanto, em geral, é muito difícil trabalhar com distribuições contínuas. Como \(P(X = x) = 0\) para todo \(x\), não podemos simplesmente somar probabilidades, como fazemos com variáveis aleatórias discretas. Então, como podemos controlar todas as probabilidades?

Uma solução possível é sugerida reescrevendo (2.4.2) da seguinte forma. Para \(x \in R^1\), seja \begin{equation} f(x) = \begin{cases} 1 & 0 \le x \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \tag{2.4.3} \end{equation} Então (2.4.2) pode ser reescrita como \begin{equation} P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\, dx, \tag{2.4.4} \end{equation} sempre que \(a \le b\).

Pode-se questionar se é sensato converter a equação simples (2.4.2) na complicada equação integral (2.4.4). No entanto, a vantagem de (2.4.4) é que, modificando a função \(f\), podemos obter muitas outras distribuições contínuas além da distribuição uniforme. Para explorar isso, fazemos as definições a seguir.

Em particular, se \(b = a + \delta\), com \(\delta\) um número positivo pequeno, e se \(f\) é contínua em \(a\), então vemos que \[ P(a \le X \le a + \delta) = \int_a^{a+\delta} f(x)\, dx \approx \delta\, f(a). \] Assim, uma função densidade avaliada em \(a\) pode ser vista como uma medida da probabilidade de uma variável aleatória estar num pequeno intervalo em torno de \(a\).

Para entender melhor as variáveis aleatórias absolutamente contínuas, observamos o teorema a seguir.

Acontece que a recíproca²⁹ do Teorema 2.4.1 é falsa. Isto é, nem toda distribuição contínua é absolutamente contínua.³⁰ No entanto, a maioria das distribuições contínuas que surgem em estatística é absolutamente contínua. Além disso, é muito mais fácil trabalhar com distribuições absolutamente contínuas do que com outros tipos de distribuições contínuas. Por isso, restringimos aqui nossa discussão às distribuições absolutamente contínuas. Na verdade, os estatísticos às vezes dizem que \(X\) é contínua como forma abreviada de dizer que \(X\) é absolutamente contínua.

2.4.1 Distribuições Absolutamente Contínuas Importantes

Certas distribuições absolutamente contínuas são tão importantes que as listamos aqui.

Definimos agora uma função \(\phi : R^1 \to R^1\) por \begin{equation} \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}. \tag{2.4.9} \end{equation} Essa função \(\phi\) é a famosa “curva em forma de sino”, pois seu gráfico tem a forma de um sino, como mostra a Figura 2.4.3.

Temos o seguinte resultado para \(\phi\).

Isso leva às seguintes distribuições importantes.

Dada uma variável aleatória absolutamente contínua \(X\), escreveremos sua densidade como \(f_X\), ou como \(f\) se não houver confusão. Variáveis aleatórias absolutamente contínuas serão usadas extensamente nos capítulos seguintes deste livro.

Exercícios

2.4.1 Seja \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\). Calcule cada uma das probabilidades a seguir. (a) \(P(U \le 0)\)(b) \(P(U = 1/2)\)(c) \(P(U < -1/3)\)(d) \(P(U \le 2/3)\)(e) \(P(U < 2/3)\)(f) \(P(U < 1)\)(g) \(P(U \le 17)\)

2.4.2 Seja \(W \sim \text{Uniforme}[1, 4]\). Calcule cada uma das probabilidades a seguir. (a) \(P(W \ge 5)\)(b) \(P(W \ge 2)\)(c) \(P(W^2 \le 9)\) (Sugestão: se \(W^2 \le 9\), como \(W\) tem de ser?)(d) \(P(W^2 \le 2)\)

2.4.3 Seja \(Z \sim \text{Exponencial}(4)\). Calcule cada uma das probabilidades a seguir. (a) \(P(Z \ge 5)\)(b) \(P(Z \ge -5)\)(c) \(P(Z^2 \ge 9)\)(d) \(P(Z^4 - 17 \ge 9)\)

2.4.4 Determine para quais constantes \(c\) as funções a seguir são densidades. (a) \(f(x) = cx\) em \((0, 1)\) e 0 caso contrário.(b) \(f(x) = cx^n\) em \((0, 1)\) e 0 caso contrário, para \(n\) um inteiro não negativo.(c) \(f(x) = cx^{1/2}\) em \((0, 2)\) e 0 caso contrário.(d) \(f(x) = c \sin x\) em \((0, \pi/2)\) e 0 caso contrário.

2.4.5 A função definida por \(f(x) = x/3\) para \(-1 < x < 2\) e 0 caso contrário é uma densidade? Por quê?

2.4.6 Seja \(X \sim \text{Exponencial}(3)\). Calcule cada uma das probabilidades a seguir. (a) \(P(0 < X < 1)\)(b) \(P(0 < X < 3)\)(c) \(P(0 < X < 5)\)(d) \(P(2 < X < 5)\)(e) \(P(2 < X < 10)\)(f) \(P(X > 2)\)

2.4.7 Seja \(M > 0\) e suponha que \(f(x) = cx^2\) para \(0 < x < M\), e \(f(x) = 0\) caso contrário. Para que valor de \(c\) (dependendo de \(M\)) \(f\) é uma densidade?

2.4.8 Suponha que \(X\) tenha densidade \(f\) e que \(f(x) \ge 2\) para \(0{,}3 < x < 0{,}4\). Prove que \(P(0{,}3 < X < 0{,}4) \ge 0{,}2\).

2.4.9 Suponha que \(X\) tenha densidade \(f\) e \(Y\) tenha densidade \(g\). Suponha que \(f(x) > g(x)\) para \(1 < x < 2\). Prove que \(P(1 < X < 2) > P(1 < Y < 2)\).

2.4.10 Suponha que \(X\) tenha densidade \(f\) e \(Y\) tenha densidade \(g\). É possível que \(f(x) > g(x)\) para todo \(x\)? Explique.

2.4.11 Suponha que \(X\) tenha densidade \(f\) e que \(f(x) > f(y)\) sempre que \(0 < x < 1 < y < 2\). Segue-se que \(P(0 < X < 1) > P(1 < X < 2)\)? Explique.

2.4.12 Suponha que \(X\) tenha densidade \(f\) e que \(f(x) > f(y)\) sempre que \(0 < x < 1 < y < 3\). Segue-se que \(P(0 < X < 1) > P(1 < X < 3)\)? Explique.

2.4.13 Suponha que \(X \sim N(0, 1)\) e \(Y \sim N(1, 1)\). Prove que \(P(X < 3) > P(Y < 3)\).

Problemas

2.4.14 Seja \(Y \sim \text{Exponencial}(\lambda)\) para algum \(\lambda > 0\). Sejam \(y, h \ge 0\). Prove que \(P(Y - h \ge y \mid Y \ge h) = P(Y \ge y)\). Isto é, condicionalmente a saber que \(Y \ge h\), a variável aleatória \(Y - h\) tem a mesma distribuição que \(Y\) tinha originalmente. Essa é a chamada propriedade de falta de memória das distribuições exponenciais; ela diz que elas “esquecem” imediatamente seu comportamento passado.

2.4.15 Considere a função gama \(\Gamma(\alpha)\) \({}= \int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t}\, dt\), para \(\alpha > 0\). (a) Prove que \(\Gamma(\alpha + 1) = \alpha\, \Gamma(\alpha)\). (Sugestão: use integração por partes³⁷.)(b) Prove que \(\Gamma(1) = 1\).(c) Use os itens (a) e (b) para mostrar que \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) se \(n\) é um inteiro positivo.

2.4.16 Use o fato de que \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\) para dar uma demonstração alternativa de que \(\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x)\, dx = 1\) (como no Teorema 2.4.2). (Sugestão: faça a substituição \(t = x^2/2\).)

2.4.17 Seja \(f\) a densidade da distribuição Gama\((\alpha, \lambda)\), como em (2.4.8). Prove que \(\int_0^{\infty} f(x)\, dx = 1\). (Sugestão: tome \(t = \lambda x\).)

2.4.18 (Distribuição logística³⁸) Considere a função dada por \(f(x) = e^{-x}\left(1 + e^{-x}\right)^{-2}\) para \(-\infty < x < \infty\). Prove que \(f\) é uma função densidade.

2.4.19 (Distribuição Weibull\((\alpha)\)) Considere, para \(\alpha > 0\) fixo, a função dada por \(f(x) = \alpha x^{\alpha-1} e^{-x^{\alpha}}\) para \(0 < x < \infty\) e 0 caso contrário. Prove que \(f\) é uma função densidade.

2.4.20 (Distribuição Pareto\((\alpha)\)) Considere, para \(\alpha > 0\) fixo, a função dada por \(f(x) = \alpha\,(1 + x)^{-\alpha-1}\) para \(0 < x < \infty\) e 0 caso contrário. Prove que \(f\) é uma função densidade.

2.4.21 (Distribuição de Cauchy³⁹) Considere a função dada por \[ f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1 + x^2} \] para \(-\infty < x < \infty\). Prove que \(f\) é uma função densidade. (Sugestão: lembre-se da derivada de \(\arctan(x)\).)

2.4.22 (Distribuição de Laplace⁴⁰) Considere a função dada por \(f(x) = e^{-|x|}/2\) para \(-\infty < x < \infty\) e 0 caso contrário. Prove que \(f\) é uma função densidade.

2.4.23 (Distribuição de valor extremo⁴¹) Considere a função dada por \(f(x) = e^{-x} \exp\left\{-e^{-x}\right\}\) para \(-\infty < x < \infty\) e 0 caso contrário. Prove que \(f\) é uma função densidade.

2.4.24 (Distribuição Beta\((a, b)\)) A função beta⁴² é a função \(B : (0, \infty)^2 \to R^1\) dada por \[ B(a, b) = \int_0^1 x^{a-1} (1 - x)^{b-1}\, dx. \] Pode-se provar (veja o Desafio 2.4.25) que \begin{equation} B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\, \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)} \tag{2.4.10} \end{equation} (a) Prove que a função \(f\) dada por \(f(x) = B^{-1}(a, b)\, x^{a-1} (1 - x)^{b-1}\), para \(0 < x < 1\), e 0 caso contrário, é uma função densidade.(b) Determine e trace o gráfico da densidade quando \(a = 1\), \(b = 1\). Você sabe o nome dessa distribuição?(c) Determine e trace o gráfico da densidade quando \(a = 2\), \(b = 1\).(d) Determine e trace o gráfico da densidade quando \(a = 1\), \(b = 2\).(e) Determine e trace o gráfico da densidade quando \(a = 2\), \(b = 2\).

Desafios

2.4.25 Prove (2.4.10). (Sugestão: use \(\Gamma(a)\, \Gamma(b)\) \({}= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x^{a-1} y^{b-1} e^{-x-y}\, dx\, dy\) e faça a mudança de variável⁴³ \(u = x + y\), \(v = x/u\).)

Tópicos para discussão

2.4.26 Suponha que \(X \sim N(0, 1)\) e \(Y \sim N(0, 4)\). Qual você acha que é maior, \(P(X > 2)\) ou \(P(Y > 2)\)? Por quê? (Sugestão: veja a Figura 2.4.5.)

2.5 Funções de Distribuição Acumulada

Se \(X\) é uma variável aleatória, então sua distribuição consiste nos valores de \(P(X \in B)\) para todos os subconjuntos \(B\) dos números reais. No entanto, há certos subconjuntos especiais \(B\) com os quais é conveniente trabalhar. Especificamente, se \(B = (-\infty, x]\) para algum número real \(x\), então \(P(X \in B) = P(X \le x)\). Acontece (ver Teorema 2.5.1) que basta acompanhar \(P(X \le x)\) para todos os números reais \(x\).

Isso motiva a definição a seguir.

A razão de chamar \(F_X\) de “função de distribuição” é que a distribuição completa de \(X\) pode ser determinada diretamente a partir de \(F_X\). Mostramos isso para alguns eventos de importância especial.

Primeiro, suponha que \(B = (a, b]\) seja um intervalo aberto à esquerda. Usando (1.3.3), \[ P(X \in B) = P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F_X(b) - F_X(a). \]

Agora, suponha que \(B = [a, b]\) seja um intervalo fechado. Usando a continuidade da probabilidade (ver Teorema 1.6.1), temos \begin{align*} P(X \in B) &= P(a \le X \le b) = \lim_{n \to \infty} P(a - 1/n < X \le b)\\ &= \lim_{n \to \infty} \bigl(F_X(b) - F_X(a - 1/n)\bigr) = F_X(b) - \lim_{n \to \infty} F_X(a - 1/n). \end{align*} Às vezes escrevemos \(\lim_{n \to \infty} F_X(a - 1/n)\) como \(F_X(a^-)\), de modo que \(P(X \in [a, b]) = F_X(b) - F_X(a^-)\). No caso particular em que \(a = b\), temos \begin{equation} P(X = a) = F_X(a) - F_X(a^-). \tag{2.5.1} \end{equation}

Da mesma forma, se \(B = (a, b)\) é um intervalo aberto, então \[ P(X \in B) = P(a < X < b) = \lim_{n \to \infty} F_X(b - 1/n) - F_X(a) = F_X(b^-) - F_X(a). \] Se \(B = [a, b)\) é um intervalo aberto à direita, então \begin{align*} P(X \in B) &= P(a \le X < b) = \lim_{n \to \infty} F_X(b - 1/n) - \lim_{n \to \infty} F_X(a - 1/n)\\ &= F_X(b^-) - F_X(a^-). \end{align*} Concluímos que podemos determinar \(P(X \in B)\) a partir de \(F_X\) sempre que \(B\) for qualquer tipo de intervalo.

Agora, se \(B\) for, em vez disso, uma união de intervalos, então podemos usar a aditividade para, de novo, calcular \(P(X \in B)\) a partir de \(F_X\). Por exemplo, se \[ B = (a_1, b_1] \cup (a_2, b_2] \cup \cdots \cup (a_k, b_k], \] com \(a_1 < b_1 < a_2 < b_2 < \cdots < a_k < b_k\), então, pela aditividade, \begin{align*} P(X \in B) &= P(X \in (a_1, b_1]) + \cdots + P(X \in (a_k, b_k])\\ &= F_X(b_1) - F_X(a_1) + \cdots + F_X(b_k) - F_X(a_k). \end{align*} Portanto, ainda podemos calcular \(P(X \in B)\) apenas a partir dos valores de \(F_X(x)\).

2.5.1 Propriedades das Funções de Distribuição

À luz do Teorema 2.5.1, vemos que as funções de distribuição acumulada \(F_X\) são muito úteis. Assim, registramos aqui algumas de suas propriedades básicas.

Se \(F_X\) é uma função de distribuição acumulada, então \(F_X\) também é contínua à direita⁴⁵; ver Problema 2.5.17. Acontece que, se uma função \(F : R^1 \to R^1\) satisfaz as propriedades (a) a (d) e é contínua à direita, então existe uma única medida de probabilidade \(P\) em \(R^1\) tal que \(F\) é a fda de \(P\). Não demonstraremos esse resultado aqui.⁴⁶

2.5.2 Fdas de Distribuições Discretas

Podemos calcular a função de distribuição acumulada (fda) \(F_X\) de uma variável aleatória discreta a partir de sua função de probabilidade \(p_X\), como segue.

Portanto, se \(X\) é uma variável aleatória discreta, então, pelo Teorema 2.5.3, \(F_X\) é constante por partes⁴⁷, com um salto de tamanho \(p_X(x_i)\) em cada valor \(x_i\). O gráfico de uma distribuição assim tem a aparência do que está representado na Figura 2.5.1.

Vejamos um exemplo de função de distribuição de uma variável aleatória discreta.

2.5.3 Fdas de Distribuições Absolutamente Contínuas

Uma vez conhecida a densidade \(f_X\) de \(X\), é fácil calcular a função de distribuição acumulada de \(X\), como segue.

Pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que também é possível calcular uma densidade \(f_X\) uma vez conhecida a função de distribuição acumulada \(F_X\).

Observamos que \(F_X\) pode não ser diferenciável em todo ponto, de modo que a função \(f_X\) do corolário pode não estar definida em certos pontos isolados. A função densidade pode assumir qualquer valor nesses pontos.

Considere novamente a distribuição \(N(0, 1)\), com densidade \(\phi\) dada por (2.4.9). De acordo com o Teorema 2.5.4, a função de distribuição acumulada \(F\) dessa distribuição é dada por \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)\, dt = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-t^2/2}\, dt. \] Acontece que é comprovadamente impossível calcular essa integral de forma exata, exceto para certos valores específicos de \(x\) (por exemplo, \(x = -\infty\), \(x = 0\) ou \(x = \infty\)). Ainda assim, a função de distribuição acumulada da distribuição \(N(0, 1)\) é tão importante que recebe um símbolo especial. Além disso, ela está tabelada na Tabela D.2 do Apêndice D para certos valores de \(x\).

2.5.4 Distribuições de Mistura

Suponha agora que \(F_1, F_2, \ldots, F_k\) sejam funções de distribuição acumulada correspondentes a diversas distribuições. Sejam também \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) números reais positivos com \(\sum_{i=1}^{k} p_i = 1\) (de modo que esses valores formam uma distribuição de probabilidade). Então podemos definir uma nova função \(G\) por \begin{equation} G(x) = p_1 F_1(x) + p_2 F_2(x) + \cdots + p_k F_k(x). \tag{2.5.3} \end{equation}

Verifica-se facilmente (ver Exercício 2.5.6) que a função \(G\) dada por (2.5.3) satisfaz as propriedades (a) a (d) do Teorema 2.5.2 e é contínua à direita. Portanto, \(G\) também é uma fda.

A distribuição cuja fda é dada por (2.5.3) é chamada de distribuição de mistura, porque ela mistura as várias distribuições com fdas \(F_1, \ldots, F_k\) de acordo com a distribuição de probabilidade dada pelos \(p_1, p_2, \ldots, p_k\).

Para ver como uma distribuição de mistura surge em aplicações, considere um sistema de dois estágios, como discutido na Seção 1.5.1. Seja \(Z\) uma variável aleatória que descreve o resultado do primeiro estágio, tal que \(P(Z = i) = p_i\) para \(i = 1, 2, \ldots, k\). Suponha que, no segundo estágio, observamos uma variável aleatória \(Y\) cuja distribuição depende do resultado do primeiro estágio, de modo que \(Y\) tem fda \(F_i\) quando \(Z = i\). Na prática, \(F_i\) é a distribuição condicional de \(Y\), dado que \(Z = i\) (ver Seção 2.8). Então, pela lei da probabilidade total (ver Teorema 1.5.1), a função de distribuição de \(Y\) é dada por \[ P(Y \le y) = \sum_{i=1}^{k} P(Y \le y \mid Z = i)\, P(Z = i) = \sum_{i=1}^{k} p_i F_i(y) = G(y). \] Portanto, a função de distribuição de \(Y\) é dada por uma mistura das \(F_i\).

Considere o exemplo a seguir.

Como ilustram os exemplos a seguir, também é possível ter misturas infinitas de distribuições.

Neste ponto, você pode se perguntar se uma distribuição de mistura é discreta ou contínua. A resposta depende das distribuições que estão sendo misturadas e da distribuição de mistura. Por exemplo, misturas de locação discretas de distribuições discretas são discretas, e misturas de locação discretas de distribuições contínuas são contínuas.

Nada nos obriga, porém, a misturar apenas distribuições discretas ou apenas distribuições contínuas. Outros tipos de distribuição são considerados na seção a seguir.

2.5.5 Distribuições Nem Discretas Nem Contínuas (Avançado)

Há distribuições que não são nem discretas nem contínuas, como mostra o exemplo a seguir.

Na maior parte deste livro, trataremos separadamente as distribuições discretas e as contínuas. No entanto, é importante ter em mente que distribuições reais podem não ser nem discretas nem contínuas, mas sim uma mistura das duas.⁵¹ Na maioria das aplicações, porém, as distribuições com que lidamos são contínuas ou discretas.

Lembre-se de que uma distribuição contínua não precisa ser absolutamente contínua, isto é, ter uma densidade. Portanto, uma distribuição que é mistura de uma distribuição discreta com uma contínua pode não ser uma mistura de uma distribuição discreta com uma absolutamente contínua.

Exercícios

2.5.1 Verifique explicitamente que as propriedades (a) a (d) do Teorema 2.5.2 são de fato satisfeitas pela função \(F_X\) do Exemplo 2.5.1.

2.5.2 Considere o lançamento de um dado honesto de seis faces, de modo que \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) e \(P(s) = 1/6\) para todo \(s \in S\). Seja \(X\) o número mostrado no dado, de modo que \(X(s) = s\) para \(s \in S\). Seja \(Y = X^2\). Calcule a função de distribuição acumulada \(F_Y(y) = P(Y \le y)\), para todo \(y \in R^1\). Verifique explicitamente que as propriedades (a) a (d) do Teorema 2.5.2 são satisfeitas por essa função \(F_Y\).

2.5.3 Para cada uma das funções \(F\) a seguir, determine se \(F\) é ou não uma função de distribuição acumulada válida, isto é, se \(F\) satisfaz ou não as propriedades (a) a (d) do Teorema 2.5.2. (a) \(F(x) = x\) para todo \(x \in R^1\)(b) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x & 0 \le x \le 1\\ 1 & x > 1 \end{cases} \](c) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x^2 & 0 \le x \le 1\\ 1 & x > 1 \end{cases} \](d) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x^2 & 0 \le x \le 3\\ 1 & x > 3 \end{cases} \](e) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x^2/9 & 0 \le x \le 3\\ 1 & x > 3 \end{cases} \](f) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1\\ x^2/9 & 1 \le x \le 3\\ 1 & x > 3 \end{cases} \](g) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < -1\\ x^2/9 & -1 \le x \le 3\\ 1 & x > 3 \end{cases} \]

2.5.4 Seja \(X \sim N(0, 1)\). Calcule cada um dos itens a seguir em termos da função \(\Phi\) da Definição 2.5.2 e use a Tabela D.2 (ou um software) para calcular numericamente essas probabilidades. (a) \(P(X \le -5)\)(b) \(P(-2 \le X \le 7)\)(c) \(P(X \ge 3)\)

2.5.5 Seja \(Y \sim N(-8, 4)\). Calcule cada um dos itens a seguir em termos da função \(\Phi\) da Definição 2.5.2 e use a Tabela D.2 (ou um software) para calcular numericamente essas probabilidades. (a) \(P(Y \le -5)\)(b) \(P(-2 \le Y \le 7)\)(c) \(P(Y \ge 3)\)

2.5.6 Verifique que a função \(G\) dada por (2.5.3) satisfaz as propriedades (a) a (d) do Teorema 2.5.2.

2.5.7 Suponha que \(F_X(x) = x^2\) para \(0 \le x \le 1\). Calcule cada um dos itens a seguir. (a) \(P(X < 1/3)\)(b) \(P(1/4 < X < 1/2)\)(c) \(P(2/5 < X < 4/5)\)(d) \(P(X < 0)\)(e) \(P(X < 1)\)(f) \(P(X < -1)\)(g) \(P(X < 3)\)(h) \(P(X = 3/7)\)

2.5.8 Suponha que \(F_Y(y) = y^3\) para \(0 \le y < 1/2\) e que \(F_Y(y) = 1\) para \(1/2 \le y\). Calcule cada um dos itens a seguir. (a) \(P(1/3 < Y < 3/4)\)(b) \(P(Y = 1/3)\)(c) \(P(Y = 1/2)\)

2.5.9 Seja \(F(x) = x^2\) para \(0 \le x \le 2\), com \(F(x) = 0\) para \(x < 0\) e \(F(x) = 4\) para \(x > 2\). (a) Esboce um gráfico de \(F\).(b) \(F\) é uma função de distribuição acumulada válida? Por quê?

2.5.10 Seja \(F(x) = 0\) para \(x < 0\), com \(F(x) = e^{-x}\) para \(x \ge 0\). (a) Esboce um gráfico de \(F\).(b) \(F\) é uma função de distribuição acumulada válida? Por quê?

2.5.11 Seja \(F(x) = 0\) para \(x < 0\), com \(F(x) = 1 - e^{-x}\) para \(x \ge 0\). (a) Esboce um gráfico de \(F\).(b) \(F\) é uma função de distribuição acumulada válida? Por quê?

2.5.12 Seja \(X \sim \text{Exponencial}(3)\). Calcule a função \(F_X\).

2.5.13 Seja \(F(x) = 0\) para \(x < 0\), com \(F(x) = 1/3\) para \(0 \le x < 2/5\), \(F(x) = 3/4\) para \(2/5 \le x < 4/5\) e \(F(x) = 1\) para \(x \ge 4/5\). (a) Esboce um gráfico de \(F\).(b) Demonstre que \(F\) é uma função de distribuição acumulada válida.(c) Se \(X\) tem função de distribuição acumulada igual a \(F\), calcule \(P(X > 4/5)\), \(P(-1 < X < 1/2)\), \(P(X = 2/5)\) e \(P(X = 4/5)\).

2.5.14 Seja \(G(x) = 0\) para \(x < 0\), com \(G(x) = 1 - e^{-x^2}\) para \(x \ge 0\). (a) Demonstre que \(G\) é uma função de distribuição acumulada válida.(b) Se \(Y\) tem função de distribuição acumulada igual a \(G\), calcule \(P(Y > 4)\), \(P(-1 < Y < 2)\) e \(P(Y = 0)\).

2.5.15 Sejam \(F\) e \(G\) como nos dois exercícios anteriores. Seja \(H(x) = (1/3)F(x) + (2/3)G(x)\). Suponha que \(Z\) tenha função de distribuição acumulada igual a \(H\). Calcule cada um dos itens a seguir. (a) \(P(Z > 4/5)\)(b) \(P(-1 < Z < 1/2)\)(c) \(P(Z = 2/5)\)(d) \(P(Z = 4/5)\)(e) \(P(Z = 0)\)(f) \(P(Z = 1/2)\)

Problemas

2.5.16 Seja \(F\) uma função de distribuição acumulada. Calcule (com justificativa) o valor de \(\lim_{n \to \infty} [F(2n) - F(n)]\).

2.5.17 Seja \(F\) uma função de distribuição acumulada. Para \(x \in R^1\), poderíamos definir \(F(x^+)\) por \(F(x^+) = \lim_{n \to \infty} F(x + \frac{1}{n})\). Demonstre que \(F\) é contínua à direita, o que significa que, para cada \(x \in R^1\), temos \(F(x^+) = F(x)\). (Sugestão: você precisará usar a continuidade de \(P\) (Teorema 1.6.1).)

2.5.18 Seja \(X\) uma variável aleatória, com função de distribuição acumulada \(F_X\). Demonstre que \(P(X = a) = 0\) se e somente se a função \(F_X\) é contínua em \(a\). (Sugestão: use (2.5.1) e o problema anterior.)

2.5.19 Seja \(\Phi\) como na Definição 2.5.2. Deduza uma fórmula para \(\Phi(-x)\) em termos de \(\Phi(x)\). (Sugestão: faça \(s = -t\) em (2.5.2) e não se esqueça do Teorema 2.5.2.)

2.5.20 Determine a função de distribuição da distribuição logística do Problema 2.4.18.

2.5.21 Determine a função de distribuição da distribuição Weibull\((\alpha)\) do Problema 2.4.19.

2.5.22 Determine a função de distribuição da distribuição Pareto\((\alpha)\) do Problema 2.4.20.

2.5.23 Determine a função de distribuição da distribuição de Cauchy do Problema 2.4.21.

2.5.24 Determine a função de distribuição da distribuição de Laplace do Problema 2.4.22.

2.5.25 Determine a função de distribuição da distribuição de valor extremo do Problema 2.4.23.

2.5.26 Determine a função de distribuição das distribuições beta do Problema 2.4.24, nos itens (b) a (e).

Tópicos para discussão

2.5.27 Você se surpreende com o fato de que toda a informação sobre a distribuição de uma variável aleatória \(X\) possa ser armazenada numa única função \(F_X\)? Por quê? Em que outros exemplos você consegue pensar em que muita informação diferente é armazenada numa única função?

2.6 Mudança de Variável Unidimensional

Seja \(X\) uma variável aleatória com distribuição conhecida. Suponha que \(Y = h(X)\), em que \(h : R^1 \to R^1\) é alguma função. (Lembre que isso significa, na verdade, que \(Y(s) = h(X(s))\) para todo \(s \in S\).) Qual é, então, a distribuição de \(Y\)?

2.6.1 O Caso Discreto

Se \(X\) é uma variável aleatória discreta, isso é bem direto. Para calcular a probabilidade de que \(Y = y\), precisamos calcular a probabilidade do conjunto formado por todos os valores de \(x\) que satisfazem \(h(x) = y\), isto é, calcular \(P\left(X \in \{x : h(x) = y\}\right)\). Isso está representado graficamente na Figura 2.6.1.

Estabelecemos agora o resultado básico.

2.6.2 O Caso Contínuo

Se \(X\) é contínua e \(Y = h(X)\), a situação é mais complicada. De fato, \(Y\) pode nem ser contínua, como mostra o exemplo a seguir.

Por outro lado, se \(X\) é absolutamente contínua e a função \(h\) é estritamente crescente⁵², a situação fica consideravelmente mais simples, como mostra o teorema a seguir.

Se, em vez disso, a função \(h\) for estritamente decrescente, vale um resultado semelhante.

Por fim, observamos o seguinte.

Exercícios

2.6.1 Seja \(X \sim \text{Uniforme}[L, R]\). Seja \(Y = cX + d\), em que \(c > 0\). Prove que \(Y \sim \text{Uniforme}[cL + d, cR + d]\). (Isso generaliza o Exemplo 2.6.4.)

2.6.2 Seja \(X \sim \text{Uniforme}[L, R]\). Seja \(Y = cX + d\), em que \(c < 0\). Prove que \(Y \sim \text{Uniforme}[cR + d, cL + d]\). (Em particular, se \(L = 0\), \(R = 1\), \(c = -1\) e \(d = 1\), então \(X \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e também \(Y = 1 - X \sim \text{Uniforme}[0, 1]\).)

2.6.3 Seja \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\). Seja \(Y = cX + d\), em que \(c > 0\). Prove que \(Y \sim N(c\mu + d, c^2\sigma^2)\). (Isso generaliza o Exemplo 2.6.5.)

2.6.4 Seja \(X \sim \text{Exponencial}(\lambda)\). Seja \(Y = cX\), em que \(c > 0\). Prove que \(Y \sim \text{Exponencial}(\lambda/c)\).

2.6.5 Seja \(X \sim \text{Exponencial}(\lambda)\). Seja \(Y = X^3\). Calcule a densidade \(f_Y\) de \(Y\).

2.6.6 Seja \(X \sim \text{Exponencial}(\lambda)\). Seja \(Y = X^{1/4}\). Calcule a densidade \(f_Y\) de \(Y\). (Sugestão: use o Teorema 2.6.4.)

2.6.7 Seja \(X \sim \text{Uniforme}[0, 3]\). Seja \(Y = X^2\). Calcule a função densidade \(f_Y\) de \(Y\).

2.6.8 Suponha que \(X\) tenha uma densidade tal que \(f_X(\mu + x) = f_X(\mu - x)\), isto é, simétrica em torno de \(\mu\). Seja \(Y = 2\mu - X\). Mostre que a densidade de \(Y\) é dada por \(f_X\). Use isso para determinar a distribuição de \(Y\) quando \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

2.6.9 Suponha que \(X\) tenha função densidade \(f_X(x) = x^3/4\) para \(0 < x < 2\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário. (a) Seja \(Y = X^2\). Calcule a função densidade \(f_Y(y)\) de \(Y\).(b) Seja \(Z = \sqrt{X}\). Calcule a função densidade \(f_Z(z)\) de \(Z\).

2.6.10 Seja \(X \sim \text{Uniforme}[0, \pi/2]\). Seja \(Y = \sin(X)\). Calcule a função densidade \(f_Y(y)\) de \(Y\).

2.6.11 Suponha que \(X\) tenha função densidade \(f_X(x) = (1/2)\sin(x)\) para \(0 < x < \pi\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário. Seja \(Y = X^2\). Calcule a função densidade \(f_Y(y)\) de \(Y\).

2.6.12 Suponha que \(X\) tenha função densidade \(f_X(x) = 1/x^2\) para \(x > 1\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário. Seja \(Y = X^{1/3}\). Calcule a função densidade \(f_Y(y)\) de \(Y\).

2.6.13 Seja \(X \sim \text{Normal}(0, 1)\). Seja \(Y = X^3\). Calcule a função densidade \(f_Y(y)\) de \(Y\).

Problemas

2.6.14 Sejam \(X \sim \text{Uniforme}[2, 7]\), \(Y = X^3\) e \(Z = \sqrt{Y}\). Calcule a densidade \(f_Z\) de \(Z\) de duas maneiras. (a) Aplique o Teorema 2.6.2 para obter primeiro a densidade de \(Y\) e depois aplique o Teorema 2.6.2 de novo para obter a densidade de \(Z\).(b) Observe que \(Z = \sqrt{Y} = \sqrt{X^3} = X^{3/2}\) e aplique o Teorema 2.6.2 uma única vez.

2.6.15 Seja \(X \sim \text{Uniforme}[L, R]\) e seja \(Y = h(X)\), em que \(h(x) = (x - c)^6\). De acordo com o Teorema 2.6.4, sob que condições sobre \(L\), \(R\) e \(c\) podemos aplicar o Teorema 2.6.2 ou o Teorema 2.6.3 a essa escolha de \(X\) e \(Y\)?

2.6.16 Seja \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\). Seja \(Y = cX + d\), em que \(c < 0\). Prove que, de novo, \(Y \sim N(c\mu + d, c^2\sigma^2)\), exatamente como no Exercício 2.6.3.

2.6.17 (Distribuição Log-normal⁵³\((\tau)\)) Suponha que \(X \sim N(0, \tau^2)\). Prove que \(Y = e^X\) tem densidade \[ f_\tau(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\tau} \exp\left(-\frac{(\ln y)^2}{2\tau^2}\right) \frac{1}{y} \] para \(y > 0\), em que \(\tau > 0\) é desconhecido. Dizemos que \(Y \sim \text{Log-normal}(\tau)\).

2.6.18 Suponha que \(X \sim \text{Weibull}(\alpha)\) (veja o Problema 2.4.19). Determine a distribuição de \(Y = X^\beta\).

2.6.19 Suponha que \(X \sim \text{Pareto}(\alpha)\) (veja o Problema 2.4.20). Determine a distribuição de \(Y = (1 + X)^\beta - 1\).

2.6.20 Suponha que \(X\) tenha a distribuição de valor extremo (veja o Problema 2.4.23). Determine a distribuição de \(Y = e^{-X}\).

Desafios

2.6.21 Os Teoremas 2.6.2 e 2.6.3 exigem que \(h\) seja uma função crescente ou decrescente, pelo menos nos pontos em que a densidade de \(X\) é positiva (veja o Teorema 2.6.4). Suponha agora que \(X \sim N(0, 1)\) e \(Y = h(X)\), em que \(h(x) = x^2\). Então \(f_X(x) > 0\) para todo \(x\), enquanto \(h\) é crescente só para \(x > 0\) e decrescente só para \(x < 0\). Logo, os Teoremas 2.6.2 e 2.6.3 não se aplicam diretamente. Calcule \(f_Y(y)\) mesmo assim. (Sugestão: \(P(a \leq Y \leq b)\) \({}= P(a \leq Y \leq b,\ X > 0)\) \({}+ P(a \leq Y \leq b,\ X < 0)\).)

2.7 Distribuições Conjuntas

Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam duas variáveis aleatórias. Mesmo que conheçamos exatamente as distribuições de \(X\) e de \(Y\), isso ainda não nos diz nada sobre a relação entre \(X\) e \(Y\).

Uma definição formal de distribuição conjunta⁵⁴ é a seguinte.

Distribuições conjuntas, como as outras distribuições, são tão complicadas que usamos várias funções para descrevê-las, entre elas as funções de distribuição acumulada conjuntas, as funções de probabilidade conjuntas e as funções densidade conjuntas, como discutimos a seguir.

2.7.1 Funções de Distribuição Acumulada Conjuntas

Vemos por esse exemplo que as funções de distribuição acumulada conjuntas (ou fdas conjuntas) de fato registram a relação entre \(X\) e \(Y\). Na verdade, as fdas conjuntas nos dizem tudo sobre as probabilidades conjuntas de \(X\) e \(Y\), como mostra o teorema a seguir (um análogo do Teorema 2.5.1).

Não daremos uma demonstração do Teorema 2.7.1, embora ela seja parecida com a demonstração do Teorema 2.5.1. No entanto, o teorema a seguir indica por que o Teorema 2.7.1 é verdadeiro e também fornece um fato útil para os cálculos.

Não é fácil trabalhar com fdas conjuntas. Por isso, nesta seção vamos considerar também outras funções, que são mais convenientes para pares de variáveis aleatórias discretas ou absolutamente contínuas.

2.7.2 Distribuições Marginais

Vimos como uma função de distribuição acumulada conjunta \(F_{X,Y}\) nos informa sobre a relação entre \(X\) e \(Y\). No entanto, a função \(F_{X,Y}\) também nos diz tudo sobre cada uma das variáveis \(X\) e \(Y\) separadamente, como mostra o teorema a seguir.

No contexto do Teorema 2.7.3, \(F_X\) é chamada de função de distribuição acumulada marginal de \(X\), e a distribuição de \(X\) é chamada de distribuição marginal⁵⁶ de \(X\). (Analogamente, \(F_Y\) é chamada de função de distribuição acumulada marginal de \(Y\), e a distribuição de \(Y\) é chamada de distribuição marginal de \(Y\).) Intuitivamente, se pensamos em \(F_{X,Y}\) como uma função de um par \((x, y)\), então \(F_X\) e \(F_Y\) são funções de \(x\) e de \(y\), respectivamente, que poderiam ser escritas nas “margens” de um gráfico de \(F_{X,Y}\).

Assim, o Teorema 2.7.3 nos diz que a fda conjunta⁵⁷ \(F_{X,Y}\) é de fato muito útil. Ela não só nos informa sobre a relação entre \(X\) e \(Y\), como também contém toda a informação sobre as distribuições marginais de \(X\) e de \(Y\).

Veremos nas próximas subseções que as funções de probabilidade conjuntas e as funções densidade conjuntas também contêm informação tanto sobre a relação entre \(X\) e \(Y\) quanto sobre as distribuições marginais de \(X\) e \(Y\).

2.7.3 Funções de Probabilidade Conjuntas

Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam ambas variáveis aleatórias discretas. Então podemos definir uma função de probabilidade conjunta para \(X\) e \(Y\), da seguinte forma.

Considere o exemplo a seguir.

Uma vez conhecida a função de probabilidade conjunta \(p_{X,Y}\), as funções de probabilidade marginais de \(X\) e \(Y\) são obtidas facilmente.

2.7.4 Funções Densidade Conjuntas

Se \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias contínuas, então, claramente, \(p_{X,Y}(x, y) = 0\) para todo \(x\) e \(y\). Logo, as funções de probabilidade conjuntas não são úteis nesse caso. Por outro lado, veremos aqui que, se \(X\) e \(Y\) são conjuntamente absolutamente contínuas⁵⁸, então a relação entre elas pode ser descrita de forma útil por uma função densidade conjunta⁵⁹.

Considere o exemplo a seguir.

Uma vez conhecida uma densidade conjunta \(f_{X,Y}\), calcular as densidades marginais de \(X\) e \(Y\) é muito fácil, como mostra o teorema a seguir.

As densidades conjuntas também podem ser usadas para calcular probabilidades de regiões mais gerais, como mostra o resultado a seguir. (Omitimos a demonstração. O caso particular \(B = [a, b] \times [c, d]\) corresponde diretamente à definição de \(f_{X,Y}\).)

A discussão anterior girou em torno de apenas duas variáveis aleatórias, \(X\) e \(Y\). De modo mais geral, podemos considerar \(n\) variáveis aleatórias \(X_1, \ldots, X_n\). Se as variáveis aleatórias são todas discretas, então podemos definir também uma função de probabilidade conjunta \(p_{X_1,\ldots,X_n} : R^n \to [0, 1]\) por \(p_{X_1,\ldots,X_n}(x_1, \ldots, x_n)\) \({}= P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n)\). Se as variáveis aleatórias são conjuntamente absolutamente contínuas, então podemos definir uma função densidade conjunta \(f_{X_1,\ldots,X_n} : R^n \to [0, 1]\)⁶² de modo que \begin{align*} &P(a_1 \le X_1 \le b_1, \ldots, a_n \le X_n \le b_n)\\ &\quad = \int_{a_n}^{b_n} \cdots \int_{a_1}^{b_1} f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1, \ldots, x_n)\,dx_1 \cdots dx_n, \end{align*} sempre que \(a_i \le b_i\) para todo \(i\).

Exercícios

2.7.1 Seja \(X \sim \text{Bernoulli}(1/3)\) e seja \(Y = 4X - 2\). Calcule a fda conjunta \(F_{X,Y}\).

2.7.2 Seja \(X \sim \text{Bernoulli}(1/4)\) e seja \(Y = -7X\). Calcule a fda conjunta \(F_{X,Y}\).

2.7.3 Suponha que \[ p_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 1/5 & x = 2,\ y = 3\\ 1/5 & x = 3,\ y = 2\\ 1/5 & x = -3,\ y = -2\\ 1/5 & x = -2,\ y = -3\\ 1/5 & x = 17,\ y = 19\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] (a) Calcule \(p_X\).(b) Calcule \(p_Y\).(c) Calcule \(P(Y > X)\).(d) Calcule \(P(Y = X)\).(e) Calcule \(P(XY < 0)\).

2.7.4 Para cada uma das funções densidade conjuntas \(f_{X,Y}\) a seguir, encontre o valor de \(C\) e calcule \(f_X(x)\), \(f_Y(y)\) e \(P(X \le 0{,}8,\ Y \le 0{,}6)\). (a) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 2x^2y + Cy^5 & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \](b) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} C(xy + x^5y^5) & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \](c) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} C(xy + x^5y^5) & 0 \le x \le 4,\ 0 \le y \le 10\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \](d) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} Cx^5y^5 & 0 \le x \le 4,\ 0 \le y \le 10\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \]

2.7.5 Prove que \(F_{X,Y}(x, y) \le \min(F_X(x), F_Y(y))\).

2.7.6 Suponha que \(P(X = x,\ Y = y) = 1/8\) para \(x = 3, 5\) e \(y = 1, 2, 4, 7\); caso contrário, \(P(X = x,\ Y = y) = 0\). Calcule cada um dos itens a seguir. (a) \(F_{X,Y}(x, y)\) para todo \(x, y \in R^1\)(b) \(p_{X,Y}(x, y)\) para todo \(x, y \in R^1\)(c) \(p_X(x)\) para todo \(x \in R^1\)(d) \(p_Y(y)\) para todo \(x \in R^1\)⁶⁴(e) A fda marginal \(F_X(x)\) para todo \(x \in R^1\)(f) A fda marginal \(F_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\)

2.7.7 Sejam \(X\) e \(Y\) com densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y) = c \sin(xy)\) para \(0 < x < 1\) e \(0 < y < 2\), e \(f_{X,Y}(x, y) = 0\) caso contrário, para uma constante apropriada \(c > 0\) (que não pode ser calculada explicitamente). Em termos de \(c\), calcule cada um dos itens a seguir. (a) A densidade marginal \(f_X(x)\) para todo \(x \in R^1\)(b) A densidade marginal \(f_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\)

2.7.8 Sejam \(X\) e \(Y\) com densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y) = (x^2 + y)/36\) para \(-2 < x < 1\) e \(0 < y < 4\), e \(f_{X,Y}(x, y) = 0\) caso contrário. Calcule cada um dos itens a seguir. (a) A densidade marginal \(f_X(x)\) para todo \(x \in R^1\)(b) A densidade marginal \(f_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\)(c) \(P(Y < 1)\)(d) A fda conjunta \(F_{X,Y}(x, y)\) para todo \(x, y \in R^1\)

2.7.9 Sejam \(X\) e \(Y\) com densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y) = (x^2 + y)/4\) para \(0 < x < y < 2\), e \(f_{X,Y}(x, y) = 0\) caso contrário. Calcule cada um dos itens a seguir. (a) A densidade marginal \(f_X(x)\) para todo \(x \in R^1\)(b) A densidade marginal \(f_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\)(c) \(P(Y < 1)\)

2.7.10 Sejam \(X\) e \(Y\) com distribuição Normal Bivariada\((3, 5, 2, 4, 1/2)\). (a) Especifique a distribuição marginal de \(X\).(b) Especifique a distribuição marginal de \(Y\).(c) \(X\) e \(Y\) são independentes? Por quê?

Problemas

2.7.11 Seja \(X \sim \text{Exponencial}(\lambda)\) e seja \(Y = X^3\). Calcule a fda conjunta, \(F_{X,Y}(x, y)\).

2.7.12 Seja \(F_{X,Y}\) uma fda conjunta. Prove que, para todo \(y \in R^1\), \(\lim_{x \to -\infty} F_{X,Y}(x, y) = 0\).

2.7.13 Sejam \(X\) e \(Y\) com distribuição Normal Bivariada\((\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)\), como no Exemplo 2.7.9. Prove que \(X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\), provando que \[ \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y)\,dy = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{(x - \mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right\}. \]

2.7.14 Suponha que a densidade conjunta \(f_{X,Y}\) seja dada por \(f_{X,Y}(x, y) = Cye^{-xy}\) para \(0 < x < 1\), \(0 < y < 1\), e seja \(0\) caso contrário. (a) Determine \(C\) de modo que \(f_{X,Y}\) seja uma densidade.(b) Calcule \(P(1/2 < X < 1,\ 1/2 < Y < 1)\).(c) Calcule as densidades marginais de \(X\) e de \(Y\).

2.7.15 Suponha que a densidade conjunta \(f_{X,Y}\) seja dada por \(f_{X,Y}(x, y) = Cye^{-xy}\) para \(0 < x < y < 1\), e seja \(0\) caso contrário. (a) Determine \(C\) de modo que \(f_{X,Y}\) seja uma densidade.(b) Calcule \(P(1/2 < X < 1,\ 1/2 < Y < 1)\).(c) Calcule as densidades marginais de \(X\) e de \(Y\).

2.7.16 Suponha que a densidade conjunta \(f_{X,Y}\) seja dada por \(f_{X,Y}(x, y) = Ce^{-(x+y)}\) para \(0 < x < y < \infty\), e seja \(0\) caso contrário. (a) Determine \(C\) de modo que \(f_{X,Y}\) seja uma densidade.(b) Calcule as densidades marginais de \(X\) e de \(Y\).

2.7.17 (Distribuição Dirichlet⁶⁵\((\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\)) Suponha que \((X_1, X_2)\) tenha a densidade conjunta \[ f_{X_1,X_2}(x_1, x_2) = \frac{\Gamma(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)}{\Gamma(\alpha_1)\,\Gamma(\alpha_2)\,\Gamma(\alpha_3)}\, x_1^{\alpha_1 - 1} x_2^{\alpha_2 - 1} (1 - x_1 - x_2)^{\alpha_3 - 1} \] para \(x_1 \ge 0\), \(x_2 \ge 0\) e \(0 \le x_1 + x_2 \le 1\). Uma distribuição Dirichlet muitas vezes se aplica quando \(X_1\), \(X_2\) e \(1 - X_1 - X_2\) correspondem a proporções aleatórias. (a) Prove que \(f_{X_1,X_2}\) é uma densidade. (Sugestão: esboce a região em que \(f_{X_1,X_2}\) é não negativa, integre primeiro em \(x_1\) fazendo a transformação \(u = x_1/(1 - x_2)\) nessa integral e use (2.4.10) do Problema 2.4.24.)(b) Prove que \(X_1 \sim \text{Beta}(\alpha_1, \alpha_2 + \alpha_3)\) e \(X_2 \sim \text{Beta}(\alpha_2, \alpha_1 + \alpha_3)\).

2.7.18 (Distribuição Dirichlet\((\alpha_1, \ldots, \alpha_{k+1})\)) Suponha que \((X_1, \ldots, X_k)\) tenha a densidade conjunta \begin{align*} &f_{X_1,\ldots,X_k}(x_1, \ldots, x_k)\\ &\quad = \frac{\Gamma(\alpha_1 + \cdots + \alpha_{k+1})}{\Gamma(\alpha_1) \cdots \Gamma(\alpha_{k+1})}\, x_1^{\alpha_1 - 1} \cdots x_k^{\alpha_k - 1} (1 - x_1 - \cdots - x_k)^{\alpha_{k+1} - 1} \end{align*} para \(x_i \ge 0\), \(i = 1, \ldots, k\), e \(0 \le x_1 + \cdots + x_k \le 1\). Prove que \(f_{X_1,\ldots,X_k}\) é uma densidade. (Sugestão: Problema 2.7.17.)

Desafios

2.7.19 Encontre um exemplo de duas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) e de uma função \(h : R^1 \to R^1\) tais que \(F_X(x) > 0\) e \(F_Y(x) > 0\) para todo \(x \in R^1\), mas \(\lim_{x \to \infty} F_{X,Y}(x, h(x)) = 0\).

Tópicos para discussão

2.7.20 Quais são exemplos de pares de quantidades aleatórias da vida real que têm relações interessantes? (Liste tantos quantos puder e descreva cada relação da melhor forma que puder.)

2.8 Condicionamento e Independência

Sejam \(X\) e \(Y\) duas variáveis aleatórias. Suponha que sabemos que \(X = 5\). O que isso nos diz sobre \(Y\)? Dependendo da relação entre \(X\) e \(Y\), isso pode nos dizer tudo sobre \(Y\) (por exemplo, se \(Y = X\)) ou nada sobre \(Y\). Em geral, a resposta ficará entre esses dois extremos, e saber que \(X = 5\) mudará um pouco as probabilidades de \(Y\).

2.8.1 Condicionamento em Variáveis Aleatórias Discretas

Suponha que \(X\) é uma variável aleatória discreta, com \(P(X = 5) > 0\). Seja \(a < b\), e suponha que estamos interessados na probabilidade condicional⁶⁶ \(P(a < Y \le b \mid X = 5)\). Bem, já sabemos calcular probabilidades condicionais como essa. De fato, por (1.5.1), \[ P(a < Y \le b \mid X = 5) = \frac{P(a < Y \le b,\ X = 5)}{P(X = 5)}, \] desde que \(P(X = 5) > 0\). Isso motiva a definição a seguir.

Generalizando o exemplo acima, vemos que, se \(X\) e \(Y\) são discretas, então \[ P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(Y = y,\ X = x)}{P(X = x)} = \frac{p_{X,Y}(x, y)}{p_X(x)} = \frac{p_{X,Y}(x, y)}{\sum_z p_{X,Y}(x, z)}. \] Isso motiva a definição a seguir.

2.8.2 Condicionamento em Variáveis Aleatórias Contínuas

Se \(X\) é contínua, então teremos \(P(X = x) = 0\). Nesse caso, as Definições 2.8.1 e 2.8.2 não podem ser usadas, porque não podemos dividir por 0. Então, como podemos condicionar em \(X = x\) nesse caso?

Uma abordagem é sugerida por condicionar, em vez disso, em \(x - \epsilon < X \le x + \epsilon\), em que \(\epsilon > 0\) é um número muito pequeno. Mesmo que \(X\) seja contínua, ainda podemos ter \(P(x - \epsilon \le X \le x + \epsilon) > 0\). Por outro lado, se \(\epsilon\) é muito pequeno e \(x - \epsilon \le X \le x + \epsilon\), então \(X\) tem de estar muito próximo de \(x\).

De fato, suponha que \(X\) e \(Y\) são conjuntamente absolutamente contínuas, com função densidade conjunta \(f_{X,Y}\). Então \begin{align*} P(a \le Y \le b \mid x - \epsilon \le X \le x + \epsilon) &= \frac{P(a \le Y \le b,\, x - \epsilon \le X \le x + \epsilon)}{P(x - \epsilon \le X \le x + \epsilon)}\\ &= \frac{\int_a^b \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f_{X,Y}(t, y)\,dt\,dy} {\int_{-\infty}^{\infty} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f_{X,Y}(t, y)\,dt\,dy}. \end{align*}

Na Figura 2.8.1, representamos a região \(\{(x, y) : a \le y \le b,\ x - \epsilon < x \le x\) \({}+ \epsilon\}\) para \((X, Y)\).

Agora, se \(\epsilon\) é muito pequeno, então nas integrais acima teremos sempre \(t\) muito próximo de \(x\). Se \(f_{X,Y}\) é uma função contínua, isso implica que \(f_{X,Y}(t, y)\) estará muito próximo de \(f_{X,Y}(x, y)\). Concluímos que, se \(\epsilon\) é muito pequeno, então \begin{align*} P(a \le Y \le b \mid x - \epsilon \le X \le x + \epsilon) &\approx \frac{\int_a^b \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f_{X,Y}(x, y)\,dt\,dy} {\int_{-\infty}^{\infty} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f_{X,Y}(x, y)\,dt\,dy}\\ &= \frac{\int_a^b 2\epsilon\, f_{X,Y}(x, y)\,dy}{\int_{-\infty}^{\infty} 2\epsilon\, f_{X,Y}(x, y)\,dy}\\ &= \int_a^b \frac{f_{X,Y}(x, y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, z)\,dz}\,dy. \end{align*} Isso sugere que a quantidade \[ \frac{f_{X,Y}(x, y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, z)\,dz} = \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_X(x)} \] faz o papel de uma densidade para a distribuição condicional de \(Y\), dado que \(X = x\). Isso motiva as definições a seguir.

Por analogia com o Teorema 1.3.1, temos o seguinte.

2.8.3 Independência de Variáveis Aleatórias

Lembre-se da Definição 1.5.2: dois eventos \(A\) e \(B\) são independentes se \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\). Queremos ter uma definição correspondente de independência para variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\). Intuitivamente, a independência de \(X\) e \(Y\) significa que \(X\) e \(Y\) não exercem nenhuma influência uma sobre a outra, isto é, que os valores de \(X\) não alteram em nada as probabilidades de \(Y\) (e vice-versa).

A ideia da definição formal é que \(X\) e \(Y\) dão origem a eventos da forma “\(a < X \le b\)” ou “\(Y \in B\)”, e queremos que todos esses eventos envolvendo \(X\) sejam independentes de todos esses eventos envolvendo \(Y\). Mais precisamente, nossa definição é a seguinte.

Intuitivamente, \(X\) e \(Y\) são independentes se não exercem nenhuma influência uma sobre a outra, como veremos.

Ora, é muito difícil trabalhar com a Definição 2.8.5. Felizmente, existe uma caracterização da independência muito mais simples.

Isto é, \(X\) e \(Y\) são independentes se e somente se os eventos “\(a \le X \le b\)” e “\(c \le Y \le d\)” são eventos independentes sempre que \(a \le b\) e \(c \le d\).

Não demonstraremos o Teorema 2.8.2 aqui, embora a demonstração seja semelhante, em espírito, à do Teorema 2.5.1. No entanto, às vezes usaremos (2.8.1) para verificar a independência de \(X\) e \(Y\).

Ainda assim, nem mesmo (2.8.1) é tão fácil de verificar diretamente. Para distribuições discretas e para distribuições absolutamente contínuas, há condições mais fáceis, como segue.

Combinando o Teorema 2.8.3 com as Definições 2.8.2 e 2.8.3, obtemos imediatamente o resultado a seguir sobre independência. Ele diz que a independência de variáveis aleatórias equivale a dizer que condicionar em uma delas não tem efeito sobre a outra, o que corresponde a uma noção intuitiva de independência.

Embora seja bem difícil trabalhar com a Definição 2.8.5, ela fornece o modo mais fácil de demonstrar uma propriedade muito importante da independência, como segue.

Suponha agora que temos \(n\) variáveis aleatórias \(X_1, \ldots, X_n\). As variáveis aleatórias são independentes se e somente se a coleção de eventos \(\{a_i \le X_i \le b_i\}\) é independente, sempre que \(a_i \le b_i\), para todo \(i = 1, 2, \ldots, n\). Generalizando o Teorema 2.8.3, temos o resultado a seguir.

Um caso particularmente comum em estatística é o seguinte.

Em particular, se uma coleção \(X_1, \ldots, X_n\) de variáveis aleatórias é i.i.d. e discreta, então as funções de probabilidade \(p_{X_i}\) são todas iguais, de modo que \(p_{X_1}(x) = p_{X_2}(x)\) \({}= \cdots = p_{X_n}(x) \equiv p(x)\), para todo \(x \in R^1\). Além disso, pelo Teorema 2.8.6(a), segue que \[ p_{X_1, \ldots, X_n}(x_1, \ldots, x_n) = p_{X_1}(x_1)\,p_{X_2}(x_2) \cdots p_{X_n}(x_n) = p(x_1)\,p(x_2) \cdots p(x_n) \] para todo \(x_1, \ldots, x_n \in R^1\).

Da mesma forma, se uma coleção \(X_1, \ldots, X_n\) de variáveis aleatórias é i.i.d. e conjuntamente absolutamente contínua, então as funções densidade \(f_{X_i}\) são todas iguais, de modo que \(f_{X_1}(x) = f_{X_2}(x)\) \({}= \cdots = f_{X_n}(x) \equiv f(x)\), para todo \(x \in R^1\). Além disso, pelo Teorema 2.8.6(b), segue que \[ f_{X_1, \ldots, X_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{X_1}(x_1)\, f_{X_2}(x_2) \cdots f_{X_n}(x_n) = f(x_1)\, f(x_2) \cdots f(x_n) \] para todo \(x_1, \ldots, x_n \in R^1\).

Consideramos agora uma família importante de distribuições discretas que surgem por meio de amostragem.

2.8.4 Estatísticas de Ordem

Suponha agora que \((X_1, \ldots, X_n)\) é uma amostra. Em muitas aplicações da estatística, teremos \(n\) valores de dados para os quais faz sentido supor que eles surgem como uma sequência i.i.d. É frequentemente de interesse, então, ordená-los do menor para o maior, obtendo as estatísticas de ordem⁷² \[ X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}. \] Aqui, \(X_{(i)}\) é igual ao \(i\)-ésimo menor valor da amostra \(X_1, \ldots, X_n\). Assim, por exemplo, se \(n = 5\) e \[ X_1 = 2{,}3;\quad X_2 = 4{,}5;\quad X_3 = -1{,}2;\quad X_4 = 2{,}2;\quad X_5 = 4{,}3, \] então \[ X_{(1)} = -1{,}2;\quad X_{(2)} = 2{,}2;\quad X_{(3)} = 2{,}3;\quad X_{(4)} = 4{,}3;\quad X_{(5)} = 4{,}5. \]

Em muitas situações, as distribuições das estatísticas de ordem são de considerável interesse. Considere os exemplos a seguir.

A mediana amostral⁷⁴ e os quartis amostrais⁷⁵ são definidos em termos das estatísticas de ordem e usados em aplicações estatísticas. Essas quantidades, e seus usos, são discutidos na Seção 5.5.

Exercícios

2.8.1 Suponha que \(X\) e \(Y\) têm função de probabilidade conjunta \[ p_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 1/6 & x = -2,\ y = 3\\ 1/12 & x = -2,\ y = 5\\ 1/6 & x = 9,\ y = 3\\ 1/12 & x = 9,\ y = 5\\ 1/3 & x = 13,\ y = 3\\ 1/6 & x = 13,\ y = 5\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] (a) Calcule \(p_X(x)\) para todo \(x \in R^1\).(b) Calcule \(p_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\).(c) Determine se \(X\) e \(Y\) são ou não independentes.

2.8.2 Suponha que \(X\) e \(Y\) têm função de probabilidade conjunta \[ p_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 1/16 & x = -2,\ y = 3\\ 1/4 & x = -2,\ y = 5\\ 1/2 & x = 9,\ y = 3\\ 1/16 & x = 9,\ y = 5\\ 1/16 & x = 13,\ y = 3\\ 1/16 & x = 13,\ y = 5\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] (a) Calcule \(p_X(x)\) para todo \(x \in R^1\).(b) Calcule \(p_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\).(c) Determine se \(X\) e \(Y\) são ou não independentes.

2.8.3 Suponha que \(X\) e \(Y\) têm função densidade conjunta \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \frac{12}{49}\bigl(2 + x + xy + 4y^2\bigr) & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] (a) Calcule \(f_X(x)\) para todo \(x \in R^1\).(b) Calcule \(f_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\).(c) Determine se \(X\) e \(Y\) são ou não independentes.

2.8.4 Suponha que \(X\) e \(Y\) têm função densidade conjunta \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \frac{2}{5(2 + e)}\bigl(3 + e^x + 3y + 3ye^y + ye^x + ye^{x+y}\bigr) & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] (a) Calcule \(f_X(x)\) para todo \(x \in R^1\).(b) Calcule \(f_Y(y)\) para todo \(y \in R^1\).(c) Determine se \(X\) e \(Y\) são ou não independentes.

2.8.5 Suponha que \(X\) e \(Y\) têm função de probabilidade conjunta \[ p_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 1/9 & x = -4,\ y = -2\\ 2/9 & x = 5,\ y = -2\\ 3/9 & x = 9,\ y = -2\\ 2/9 & x = 9,\ y = 0\\ 1/9 & x = 9,\ y = 4\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] (a) Calcule \(P(Y = 4 \mid X = 9)\).(b) Calcule \(P(Y = -2 \mid X = 9)\).(c) Calcule \(P(Y = 0 \mid X = -4)\).(d) Calcule \(P(Y = -2 \mid X = 5)\).(e) Calcule \(P(X = 5 \mid Y = -2)\).

2.8.6 Sejam \(X \sim \text{Bernoulli}(\theta)\) e \(Y \sim \text{Geométrica}(\theta)\), com \(X\) e \(Y\) independentes. Seja \(Z = X + Y\). Qual é a função de probabilidade de \(Z\)?

2.8.7 Para cada uma das funções densidade conjunta \(f_{X,Y}\) a seguir (tiradas do Exercício 2.7.4), calcule a densidade condicional \(f_{Y \mid X}(y \mid x)\) e determine se \(X\) e \(Y\) são ou não independentes. (a) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 2x^2 y + Cy^5 & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \](b) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} C(xy + x^5 y^5) & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \](c) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} C(xy + x^5 y^5) & 0 \le x \le 4,\ 0 \le y \le 10\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \](d) \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} Cx^5 y^5 & 0 \le x \le 4,\ 0 \le y \le 10\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \]

2.8.8 Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias conjuntamente absolutamente contínuas. Suponha que \(X \sim \text{Exponencial}(2)\) e que \(P(Y > 5 \mid X = x) = e^{-3x}\). Calcule \(P(Y > 5)\).

2.8.9 Dê um exemplo de duas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\), cada uma assumindo valores no conjunto \(\{1, 2, 3\}\), tais que \(P(X = 1,\ Y = 1) = P(X = 1)\,P(Y = 1)\), mas \(X\) e \(Y\) não sejam independentes.

2.8.10 Sejam \(X \sim \text{Bernoulli}(\theta)\) e \(Y \sim \text{Bernoulli}(\psi)\), em que \(0 < \theta < 1\) e \(0 < \psi < 1\). Suponha que \(P(X = 1,\ Y = 1) = P(X = 1)\,P(Y = 1)\). Prove que \(X\) e \(Y\) têm de ser independentes.

2.8.11 Suponha que \(X\) é uma variável aleatória constante e que \(Y\) é uma variável aleatória qualquer. Prove que \(X\) e \(Y\) têm de ser independentes.

2.8.12 Suponha que \(X \sim \text{Bernoulli}(1/3)\) e \(Y \sim \text{Poisson}(\lambda)\), com \(X\) e \(Y\) independentes e com \(\lambda > 0\). Calcule \(P(X = 1 \mid Y = 5)\).

2.8.13 Suponha que \(P(X = x,\ Y = y) = 1/8\) para \(x = 3, 5\) e \(y = 1, 2, 4, 7\); caso contrário, \(P(X = x,\ Y = y) = 0\). (a) Calcule a função de probabilidade condicional \(p_{Y \mid X}(y \mid x)\) para todo \(x, y \in R^1\) com \(p_X(x) > 0\).(b) Calcule a função de probabilidade condicional \(p_{X \mid Y}(x \mid y)\) para todo \(x, y \in R^1\) com \(p_Y(y) > 0\).(c) \(X\) e \(Y\) são independentes? Por quê?

2.8.14 Sejam \(X\) e \(Y\) com densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y) = (x^2 + y)/36\) para \(-2 < x < 1\) e \(0 < y < 4\); caso contrário, \(f_{X,Y}(x, y) = 0\). (a) Calcule a densidade condicional \(f_{Y \mid X}(y \mid x)\) para todo \(x, y \in R^1\) com \(f_X(x) > 0\).(b) Calcule a densidade condicional \(f_{X \mid Y}(x \mid y)\) para todo \(x, y \in R^1\) com \(f_Y(y) > 0\).(c) \(X\) e \(Y\) são independentes? Por quê?

2.8.15 Sejam \(X\) e \(Y\) com densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y) = (x^2 + y)/4\) para \(0 < x < y < 2\); caso contrário, \(f_{X,Y}(x, y) = 0\). Calcule cada um dos itens a seguir. (a) A densidade condicional \(f_{Y \mid X}(y \mid x)\) para todo \(x, y \in R^1\) com \(f_X(x) > 0\)(b) A densidade condicional \(f_{X \mid Y}(x \mid y)\) para todo \(x, y \in R^1\) com \(f_Y(y) > 0\)(c) \(X\) e \(Y\) são independentes? Por quê?

2.8.16 Suponha que obtemos a seguinte amostra de tamanho \(n = 6\): \(X_1 = 12\), \(X_2 = 8\), \(X_3 = X_4 = 9\), \(X_5 = 7\) e \(X_6 = 11\). Especifique as estatísticas de ordem \(X_{(i)}\) para \(1 \le i \le 6\).

Problemas

2.8.17 Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias conjuntamente absolutamente contínuas, com densidade conjunta da forma \[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} C_1(2x^2 y + C_2 y^5) & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] Determine valores de \(C_1\) e \(C_2\) tais que \(f_{X,Y}\) seja uma função densidade conjunta válida e \(X\) e \(Y\) sejam independentes.

2.8.18 Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias discretas. Suponha que \(p_{X,Y}(x, y) = g(x)\,h(y)\), para certas funções \(g\) e \(h\). Prove que \(X\) e \(Y\) são independentes. (Sugestão: use o Teorema 2.8.3(a) e o Teorema 2.7.4.)

2.8.19 Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias conjuntamente absolutamente contínuas. Suponha que \(f_{X,Y}(x, y) = g(x)\,h(y)\), para certas funções \(g\) e \(h\). Prove que \(X\) e \(Y\) são independentes. (Sugestão: use o Teorema 2.8.3(b) e o Teorema 2.7.5.)

2.8.20 Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias discretas, com \(P(X = 1) > 0\) e \(P(X = 2) > 0\). Suponha que \(P(Y = 1 \mid X = 1) = 3/4\) e \(P(Y = 2 \mid X = 2) = 3/4\). Prove que \(X\) e \(Y\) não podem ser independentes.

2.8.21 Sejam \(X\) e \(Y\) com distribuição normal bivariada, como no Exemplo 2.7.9. Prove que \(X\) e \(Y\) são independentes se e somente se \(\rho = 0\).

2.8.22 Suponha que \((X_1, X_2, X_3) \sim \text{Multinomial}(n, \theta_1, \theta_2, \theta_3)\). Prove, somando a função de probabilidade conjunta, que \(X_1 \sim \text{Binomial}(n, \theta_1)\).

2.8.23 Suponha que \((X_1, X_2, X_3) \sim \text{Multinomial}(n, \theta_1, \theta_2, \theta_3)\). Encontre a distribuição condicional de \(X_2\) dado que \(X_1 = x_1\).

2.8.24 Suponha que \(X_1, \ldots, X_n\) é uma amostra da distribuição Exponencial\((\lambda)\). Encontre as densidades \(f_{X_{(1)}}\) e \(f_{X_{(n)}}\).

2.8.25 Suponha que \(X_1, \ldots, X_n\) é uma amostra de uma distribuição com fda \(F\). Prove que \[ F_{X_{(i)}}(x) = \sum_{j=i}^{n} \binom{n}{j} F^{j}(x)\,\bigl(1 - F(x)\bigr)^{n-j}. \] (Sugestão: note que \(X_{(i)} \le x\) se e somente se pelo menos \(i\) dentre \(X_1, \ldots, X_n\) são menores ou iguais a \(x\).)

2.8.26 Suponha que \(X_1, \ldots, X_5\) é uma amostra da distribuição Uniforme\([0, 1]\). Se definimos a mediana amostral como \(X_{(3)}\), encontre a densidade da mediana amostral. Você consegue identificar essa distribuição? (Sugestão: use o Problema 2.8.25.)

2.8.27 Suponha que \((X, Y) \sim \text{Normal Bivariada}(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)\). Prove que \(Y\), dado \(X = x\), tem distribuição \(N\bigl(\mu_2 + \rho\sigma_2\,(x - \mu_1)/\sigma_1,\ (1 - \rho^2)\,\sigma_2^2\bigr)\). Estabeleça o resultado análogo para a distribuição condicional de \(X\) dado \(Y = y\). (Sugestão: use (2.7.1) para \(Y\) dado \(X = x\) e sua análoga para \(X\) dado \(Y = y\).)

Desafios

2.8.28 Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias. (a) Suponha que \(X\) e \(Y\) são ambas discretas. Prove que \(X\) e \(Y\) são independentes se e somente se \(P(Y = y \mid X = x) = P(Y = y)\) para todo \(x\) e \(y\) tais que \(P(X = x) > 0\).(b) Suponha que \(X\) e \(Y\) são conjuntamente absolutamente contínuas. Prove que \(X\) e \(Y\) são independentes se e somente se \(P(a \le Y \le b \mid X = x)\) \({}= P(a \le Y \le b)\) para todo \(x\) e \(y\) tais que \(f_X(x) > 0\).

2.9 Mudança de Variável Multidimensional

Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias com distribuição conjunta conhecida. Suponha que \(Z = h_1(X, Y)\) e \(W = h_2(X, Y)\), em que \(h_1, h_2 : R^2 \to R^1\) são duas funções. Qual é a distribuição conjunta de \(Z\) e \(W\)?

Esse problema é parecido com o que consideramos na Seção 2.6, exceto que passamos de um contexto unidimensional para um bidimensional. O contexto bidimensional é mais complicado; no entanto, os resultados continuam essencialmente os mesmos, como veremos.

2.9.1 O Caso Discreto

Se \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias discretas, a distribuição de \(Z\) e \(W\) é essencialmente direta.

Como caso particular, observamos o seguinte.

2.9.2 O Caso Contínuo (Avançado)

Se \(X\) e \(Y\) são contínuas e a função \(h = (h_1, h_2)\) é injetora, então de novo é possível calcular uma fórmula para a densidade conjunta de \(Z\) e \(W\), como mostra o teorema a seguir. Para enunciá-lo, lembre, do cálculo de várias variáveis, que, se \(h = (h_1, h_2) : R^2 \to R^2\) é uma função diferenciável, então seu jacobiano⁷⁸ \(J\) é definido por \[ J(x, y) = \det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial h_1}{\partial x} & \dfrac{\partial h_2}{\partial x}\\[2ex] \dfrac{\partial h_1}{\partial y} & \dfrac{\partial h_2}{\partial y} \end{pmatrix} = \frac{\partial h_1}{\partial x}\frac{\partial h_2}{\partial y} - \frac{\partial h_2}{\partial x}\frac{\partial h_1}{\partial y}. \]

2.9.3 Convolução

Suponha agora que \(X\) e \(Y\) sejam independentes, com distribuições conhecidas, e que \(Z = X + Y\). Qual é a distribuição de \(Z\)? Nesse caso, a distribuição de \(Z\) é chamada de convolução⁷⁹ das distribuições de \(X\) e de \(Y\). Felizmente, a convolução costuma ser razoavelmente simples de calcular.

Exercícios

2.9.1 Verifique explicitamente, no Exemplo 2.9.3, que \(J(u_1, u_2) = -2\pi/u_1\).

2.9.2 Sejam \(X \sim \text{Exponencial}(3)\) e \(Y \sim \text{Uniforme}[1, 4]\), com \(X\) e \(Y\) independentes. Sejam \(Z = X + Y\) e \(W = X - Y\). (a) Escreva a densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y)\) de \(X\) e \(Y\). (Não deixe de considerar os intervalos de valores válidos de \(x\) e \(y\).)(b) Encontre uma função bidimensional \(h\) tal que \((Z, W) = h(X, Y)\).(c) Encontre uma função bidimensional \(h^{-1}\) tal que \((X, Y) = h^{-1}(Z, W)\).(d) Calcule a densidade conjunta \(f_{Z,W}(z, w)\) de \(Z\) e \(W\). (De novo, não deixe de considerar os intervalos de valores válidos de \(z\) e \(w\).)

2.9.3 Repita as partes (b) a (d) do Exercício 2.9.2, para as mesmas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\), se, em vez disso, \(Z = X^2 + Y^2\) e \(W = X^2 - Y^2\).

2.9.4 Repita as partes (b) a (d) do Exercício 2.9.2, para as mesmas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\), se, em vez disso, \(Z = X + 4\) e \(W = Y - 3\).

2.9.5 Repita as partes (b) a (d) do Exercício 2.9.2, para as mesmas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\), se, em vez disso, \(Z = Y^4\) e \(W = X^4\).

2.9.6 Suponha que a função de probabilidade conjunta de \(X\) e \(Y\) seja dada por \[ p_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 1/7 & x = 5,\ y = 0\\ 1/7 & x = 5,\ y = 3\\ 1/7 & x = 5,\ y = 4\\ 3/7 & x = 8,\ y = 0\\ 1/7 & x = 8,\ y = 4\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] Sejam \(Z = X + Y\), \(W = X - Y\), \(A = X^2 + Y^2\) e \(B = 2X - 3Y^2\). (a) Calcule a função de probabilidade conjunta \(p_{Z,W}(z, w)\).(b) Calcule a função de probabilidade conjunta \(p_{A,B}(a, b)\).(c) Calcule a função de probabilidade conjunta \(p_{Z,A}(z, a)\).(d) Calcule a função de probabilidade conjunta \(p_{W,B}(w, b)\).

2.9.7 Seja \(X\) com função de probabilidade \[ p_X(x) = \begin{cases} 1/3 & x = 0\\ 1/2 & x = 2\\ 1/6 & x = 3\\ 0 & \text{caso contrário,} \end{cases} \] e seja \(Y\) com função de probabilidade \[ p_Y(y) = \begin{cases} 1/6 & y = 2\\ 1/12 & y = 5\\ 3/4 & y = 9\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam independentes. Seja \(Z = X + Y\). Calcule \(p_Z(z)\) para todo \(z \in R^1\).

2.9.8 Seja \(X \sim \text{Geométrica}(1/4)\) e seja \(Y\) com função de probabilidade \[ p_Y(y) = \begin{cases} 1/6 & y = 2\\ 1/12 & y = 5\\ 3/4 & y = 9\\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \] Seja \(W = X + Y\). Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam independentes. Calcule \(p_W(w)\) para todo \(w \in R^1\).

2.9.9 Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam discretas, com \(P(X = 1, Y = 1)\) \({}= P(X = 1, Y = 2)\) \({}= P(X = 1, Y = 3)\) \({}= P(X = 2, Y = 2)\) \({}= P(X = 2, Y = 3)\) \({}= 1/5\) e, caso contrário, \(P(X = x, Y = y) = 0\). Sejam \(Z = X - Y^2\) e \(W = X^2 + 5Y\). (a) Calcule a função de probabilidade conjunta \(p_{Z,W}(z, w)\) para todo \(z, w \in R^1\).(b) Calcule a função de probabilidade marginal \(p_Z(z)\) de \(Z\).(c) Calcule a função de probabilidade marginal \(p_W(w)\) de \(W\).

2.9.10 Suponha que \(X\) tenha densidade \(f_X(x) = x^3/4\) para \(0 < x < 2\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário, e que \(Y\) tenha densidade \(f_Y(y) = 5y^4/32\) para \(0 < y < 2\), e \(f_Y(y) = 0\) caso contrário. Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam independentes e seja \(Z = X + Y\). (a) Calcule a densidade conjunta \(f_{X,Y}(x, y)\) para todo \(x, y \in R^1\).(b) Calcule a densidade \(f_Z(z)\) de \(Z\).

Problemas

2.9.11 Suponha de novo que \(X\) tenha densidade \(f_X(x) = x^3/4\) para \(0 < x < 2\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário, que \(Y\) tenha densidade \(f_Y(y) = 5y^4/32\) para \(0 < y < 2\), e \(f_Y(y) = 0\) caso contrário, e que \(X\) e \(Y\) sejam independentes. Sejam \(Z = X - Y\) e \(W = 4X + 3Y\). (a) Calcule a densidade conjunta \(f_{Z,W}(z, w)\) para todo \(z, w \in R^1\).(b) Calcule a densidade marginal \(f_Z(z)\) de \(Z\).(c) Calcule a densidade marginal \(f_W(w)\) de \(W\).

2.9.12 Seja \(X \sim \text{Binomial}(n_1, \theta)\) independente de \(Y \sim \text{Binomial}(n_2, \theta)\). Seja \(Z = X + Y\). Use o Teorema 2.9.3(a) para provar que \(Z \sim \text{Binomial}(n_1 + n_2, \theta)\).

2.9.13 Sejam \(X\) e \(Y\) independentes, com \(X \sim \text{Binomial Negativa}(r_1, \theta)\) e \(Y \sim \text{Binomial Negativa}(r_2, \theta)\). Seja \(Z = X + Y\). Use o Teorema 2.9.3(a) para provar que \(Z \sim \text{Binomial Negativa}(r_1 + r_2, \theta)\).

2.9.14 Sejam \(X\) e \(Y\) independentes, com \(X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\) e \(Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\). Seja \(Z = X + Y\). Use o Teorema 2.9.3(b) para provar que \(Z \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\).

2.9.15 Sejam \(X\) e \(Y\) independentes, com \(X \sim \text{Gama}(\alpha_1, \lambda)\) e \(Y \sim \text{Gama}(\alpha_2, \lambda)\). Seja \(Z = X + Y\). Use o Teorema 2.9.3(b) para provar que \(Z \sim \text{Gama}(\alpha_1 + \alpha_2, \lambda)\).

2.9.16 (MV) Mostre que, quando \(Z_1, Z_2\) são i.i.d. \(N(0, 1)\) e \(X, Y\) são dados por (2.7.1), então \((X, Y) \sim \text{Normal Bivariada}(\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho)\).

2.10 Simulando Distribuições de Probabilidade

Até aqui, nos ocupamos principalmente da teoria matemática e de manipulações de probabilidades e variáveis aleatórias. No entanto, os computadores modernos de alta velocidade podem ser usados para simular probabilidades e variáveis aleatórias numericamente. Essas simulações têm muitas aplicações, entre elas:

• Aproximar quantidades difíceis demais de calcular matematicamente
• Simular graficamente sistemas físicos ou biológicos complicados
• Extrair amostras aleatórias de grandes conjuntos de dados para procurar erros ou atividades ilegais etc.
• Implementar algoritmos complicados para dar nitidez a imagens, reconhecer fala etc.
• Simular comportamento inteligente
• Criptografar dados ou gerar senhas
• Resolver quebra-cabeças ou decifrar códigos testando muitas soluções aleatórias
• Gerar escolhas aleatórias para questionários on-line, jogos de computador etc.

De fato, à medida que os computadores ficam mais rápidos e mais difundidos, as simulações probabilísticas se tornam cada vez mais comuns em aplicativos de software, pesquisa científica, controle de qualidade, marketing, atividade policial etc.

Na maioria das aplicações de simulação probabilística, o primeiro passo é simular variáveis aleatórias com certas distribuições. Isto é, uma certa distribuição de probabilidade é especificada, e queremos gerar uma ou mais variáveis aleatórias com essa distribuição.

Ora, quase todas as linguagens de programação modernas vêm com um gerador de números pseudoaleatórios⁸⁰, um dispositivo para gerar uma sequência \(U_1, U_2, \ldots\) de valores aleatórios que são aproximadamente independentes e têm aproximadamente a distribuição uniforme em \([0, 1]\). Na verdade, os \(U_i\) costumam ser gerados por algum tipo de procedimento iterativo determinístico, projetado para “parecer” aleatório. Assim, os \(U_i\) não são, de fato, aleatórios, mas sim pseudoaleatórios.

Mesmo assim, vamos ignorar qualquer preocupação com a pseudoaleatoriedade e simplesmente supor que \begin{equation} U_1, U_2, U_3, \ldots \sim \text{Uniforme}[0, 1], \tag{2.10.1} \end{equation} isto é, que os \(U_i\) são i.i.d. Uniforme\([0, 1]\).

Portanto, se tudo de que precisássemos fossem variáveis aleatórias Uniforme\([0, 1]\), então, de acordo com (2.10.1), estaríamos resolvidos. Na maioria das aplicações, porém, outros tipos de aleatoriedade também são necessários. Por isso, vamos considerar como usar as variáveis aleatórias uniformes de (2.10.1) para gerar variáveis aleatórias com outras distribuições.

2.10.1 Simulando Distribuições Discretas

Consideramos agora a questão de como simular distribuições discretas.

No Exemplo 2.10.3, o segundo método é mais elegante e também mais simples do ponto de vista computacional (pois não exige calcular nenhum coeficiente binomial⁸¹). Por outro lado, o primeiro método do Exemplo 2.10.3 é mais geral, como mostra o teorema a seguir.

2.10.2 Simulando Distribuições Contínuas

Passamos agora à simulação de distribuições absolutamente contínuas. Em geral, esse não é um problema fácil. No entanto, para certas distribuições contínuas particulares, não é difícil, como mostramos a seguir.

Esses exemplos ilustram que, para certas distribuições contínuas especiais, obter amostras delas é imediato. Para dar um método geral de obter amostras de uma distribuição contínua, primeiro enunciamos a definição a seguir.

Na Figura 2.10.1, apresentamos um gráfico da fda inversa de uma distribuição \(N(0, 1)\). Observe que essa função vai para \(-\infty\) quando o argumento vai para 0 e vai para \(\infty\) quando o argumento vai para 1.

Usando a fda inversa, obtemos um método geral de obter amostras de uma distribuição contínua, como segue.

Observamos que o Teorema 2.10.2 vale para qualquer função de distribuição acumulada, quer ela corresponda a uma distribuição contínua, a uma distribuição discreta ou a uma mistura das duas (como na Seção 2.5.4). De fato, isso foi provado para distribuições discretas no Teorema 2.10.1.

Para distribuições complicadas demais para obter amostras pelo método da inversão do Teorema 2.10.2, e para as quais não há nenhum truque simples disponível, ainda pode ser possível obter amostras usando métodos de cadeias de Markov, que discutiremos em capítulos posteriores, ou por amostragem por rejeição⁸³ (ver Desafio 2.10.21).

Exercícios

2.10.1 Seja \(Y\) uma variável aleatória discreta com \(P(Y = -7) = 1/2\), \(P(Y = -2) = 1/3\) e \(P(Y = 5) = 1/6\). Encontre uma fórmula para \(Z\) em função de \(U\) tal que, se \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\), então \(Z\) tenha a mesma distribuição que \(Y\).

2.10.2 Para cada uma das funções de distribuição acumulada \(F\) a seguir, encontre uma fórmula para \(X\) em função de \(U\) tal que, se \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\), então \(X\) tenha função de distribuição acumulada \(F\). (a) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x & 0 \le x \le 1\\ 1 & x > 1 \end{cases} \](b) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x^2 & 0 \le x \le 1\\ 1 & x > 1 \end{cases} \](c) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x^2/9 & 0 \le x \le 3\\ 1 & x > 3 \end{cases} \](d) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1\\ x^2/9 & 1 \le x \le 3\\ 1 & x > 3 \end{cases} \](e) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ x^5/32 & 0 \le x \le 2\\ 1 & x > 2 \end{cases} \](f) \[ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0\\ 1/3 & 0 \le x < 7\\ 3/4 & 7 \le x < 11\\ 1 & x \ge 11 \end{cases} \]

2.10.3 Suponha que \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e \(Y = \ln(1/U) / 3\). Qual é a distribuição de \(Y\)?

2.10.4 Generalizando a questão anterior, suponha que \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e \(W = \ln(1/U) / \lambda\) para algum \(\lambda > 0\) fixo. (a) Qual é a distribuição de \(W\)?(b) Isso fornece um modo de simular uma certa distribuição bem conhecida? Explique.

2.10.5 Sejam \(U_1 \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e \(U_2 \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) independentes, e seja \(X = c_1 \sqrt{\log(1/U_1)}\, \cos(2\pi U_2)\) \({}+ c_2\). Encontre valores de \(c_1\) e \(c_2\) tais que \(X \sim N(5, 9)\).

2.10.6 Seja \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\). Encontre uma fórmula para \(Y\) em função de \(U\) tal que \(P(Y = 3) = P(Y = 4) = 2/5\) e \(P(Y = 7) = 1/5\), e \(P(Y = y) = 0\) caso contrário.

2.10.7 Suponha que \(P(X = 1) = 1/3\), \(P(X = 2) = 1/6\), \(P(X = 4) = 1/2\) e \(P(X = x) = 0\) caso contrário. (a) Calcule a fda \(F_X(x)\) para todo \(x \in R^1\).(b) Calcule a fda inversa \(F_X^{-1}(t)\) para todo \(t \in R^1\).(c) Seja \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\). Encontre uma fórmula para \(Y\) em função de \(U\) tal que \(Y\) tenha fda \(F_X\).

2.10.8 Seja \(X\) com função densidade \(f_X(x) = 3\sqrt{x}/2\) para \(0 < x < 1\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário. (a) Calcule a fda \(F_X(x)\) para todo \(x \in R^1\).(b) Calcule a fda inversa \(F_X^{-1}(t)\) para todo \(t \in R^1\).(c) Seja \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\). Encontre uma fórmula para \(Y\) em função de \(U\) tal que \(Y\) tenha densidade \(f\).

2.10.9 Seja \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\). Encontre uma fórmula para \(Z\) em função de \(U\) tal que \(Z\) tenha densidade \(f_Z(z) = 4z^3\) para \(0 < z < 1\), e \(f_Z(z) = 0\) caso contrário.

Exercícios computacionais

2.10.10 Para cada uma das distribuições a seguir, use o computador (você pode usar quaisquer algoritmos disponíveis num pacote de software) para simular \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) i.i.d. com a distribuição dada. (Tome no mínimo \(N = 1000\), com \(N = 10.000\) ou \(N = 100.000\) se possível.) Depois, calcule \(\bar{X} = (1/N) \sum_{i=1}^{N} X_i\) e \((1/N) \sum_{i=1}^{N} \bigl(X_i - \bar{X}\bigr)^2\). (a) Uniforme\([0, 1]\)(b) Uniforme\([5, 8]\)(c) Bernoulli\((1/3)\)(d) Binomial\((12, 1/3)\)(e) Geométrica\((1/5)\)(f) Exponencial\((1)\)(g) Exponencial\((13)\)(h) \(N(0, 1)\)(i) \(N(5, 9)\)

Problemas

2.10.11 Seja \(G(x) = p_1 F_1(x)\) \({}+ p_2 F_2(x)\) \({}+ \cdots + p_k F_k(x)\), em que \(p_i \ge 0\), \(\sum_i p_i = 1\) e as \(F_i\) são fdas, como em (2.5.3). Suponha que sabemos gerar \(X_i\) com fda \(F_i\), para \(i = 1, 2, \ldots, k\). Descreva um procedimento para gerar uma variável aleatória \(Y\) com fda \(G\).

2.10.12 Seja \(X\) uma variável aleatória absolutamente contínua, com densidade dada por \(f_X(x) = x^{-2}\) para \(x \ge 1\), e \(f_X(x) = 0\) caso contrário. Encontre uma fórmula para \(Z\) em função de \(U\) tal que, se \(U \sim \text{Uniforme}[0, 1]\), então \(Z\) tenha a mesma distribuição que \(X\).

2.10.13 Encontre a fda inversa da distribuição logística do Problema 2.4.18. (Sugestão: veja o Problema 2.5.20.)

2.10.14 Encontre a fda inversa da distribuição Weibull\((\alpha)\) do Problema 2.4.19. (Sugestão: veja o Problema 2.5.21.)

2.10.15 Encontre a fda inversa da distribuição Pareto\((\alpha)\) do Problema 2.4.20. (Sugestão: veja o Problema 2.5.22.)

2.10.16 Encontre a fda inversa da distribuição de Cauchy do Problema 2.4.21. (Sugestão: veja o Problema 2.5.23.)

2.10.17 Encontre a fda inversa da distribuição de Laplace do Problema 2.4.22. (Sugestão: veja o Problema 2.5.24.)

2.10.18 Encontre a fda inversa da distribuição de valor extremo do Problema 2.4.23. (Sugestão: veja o Problema 2.5.25.)

2.10.19 Encontre as fdas inversas das distribuições beta do Problema 2.4.24(b) a (d). (Sugestão: veja o Problema 2.5.26.)

2.10.20 (Método da composição⁸⁴) Se geramos \(X \sim f_X\), obtendo \(x\), e depois geramos \(Y\) a partir de \(f_{Y|X}(\cdot \,|\, x)\), prove que \(Y \sim f_Y\).

Desafios

2.10.21 (Amostragem por rejeição) Suponha que \(f\) seja uma função densidade complicada. Suponha que \(g\) seja uma função densidade da qual é fácil obter amostras (por exemplo, a densidade de uma distribuição uniforme, exponencial ou normal). Suponha que conhecemos um valor de \(c\) tal que \(f(x) \le c g(x)\) para todo \(x \in R^1\). O que segue fornece um método, chamado amostragem por rejeição, para obter amostras de uma densidade complicada \(f\) usando uma densidade mais simples \(g\), desde que conheçamos \(f(x) \le c g(x)\) para todo \(x \in R^1\). (a) Suponha que \(Y\) tenha densidade \(g\). Seja \(U \sim \text{Uniforme}[0, c]\), com \(U\) e \(Y\) independentes. Prove que \[ P(a \le Y \le b \,|\, f(Y) \ge U c g(Y)) = \int_a^b f(x)\, dx. \] (Sugestão: use o Teorema 2.8.1 para mostrar que \(P(a \le Y \le b, \ f(Y) \ge c U g(Y))\) \({}= \int_a^b g(y) P(f(Y) \ge c U g(Y) \,|\, Y = y)\, dy\).)(b) Suponha que \(Y_1, Y_2, \ldots\) sejam i.i.d., cada uma com densidade \(g\), e, independentemente, que \(U_1, U_2, \ldots\) sejam i.i.d. Uniforme\([0, c]\). Seja \(i_0 = 0\) e, para \(n \ge 1\), seja \(i_n = \min\{j > i_{n-1} : U_j f(Y_j) \ge c g(Y_j)\}\). Prove que \(X_{i_1}, X_{i_2}, \ldots\) são i.i.d., cada uma com densidade \(f\). ⁸⁵ (Sugestão: prove isso para \(X_{i_1}, X_{i_2}\).)

2.11 Demonstrações Adicionais (Avançado)