Capítulo 4Distribuições Amostrais e Limites

Em muitas aplicações da teoria da probabilidade, deparamo-nos com o seguinte problema. Suponha que \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) seja uma sequência independente e identicamente distribuída (i.i.d.), isto é, que \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) seja uma amostra de alguma distribuição, e que estejamos interessados na distribuição de uma nova variável aleatória¹ \(Y = h(X_1, X_2, \ldots, X_n)\) para alguma função \(h\). Em particular, podemos querer calcular a função de distribuição de \(Y\), ou talvez sua média e sua variância². A distribuição de \(Y\) às vezes é chamada de sua distribuição amostral³, já que \(Y\) se baseia numa amostra de alguma distribuição subjacente.

Veremos que alguns dos métodos desenvolvidos nos capítulos anteriores são úteis para resolver problemas desse tipo, sobretudo quando é possível calcular uma solução exata, por exemplo, obter uma expressão exata para a função de probabilidade⁴ ou para a função densidade⁵ de \(Y\). A Seção 4.6 contém vários resultados exatos sobre a distribuição de diversas funções de variáveis aleatórias normais. Eles têm aplicações importantes em estatística.

Muitas vezes, porém, é impossível obter resultados exatos, porque o problema é simplesmente complexo demais. Nesses casos, precisamos desenvolver uma aproximação para a distribuição de \(Y\).

Em muitos problemas importantes, define-se uma versão de \(Y\) para cada tamanho de amostra \(n\) (por exemplo, uma média amostral ou uma variância amostral), de modo que podemos considerar uma sequência de variáveis aleatórias \(Y_1, Y_2, \ldots\) etc. Isso nos leva a considerar a distribuição limite⁶ de uma sequência desse tipo para que, quando \(n\) for grande, possamos aproximar a distribuição de \(Y_n\) pelo limite, que muitas vezes é bem mais simples. Essa abordagem leva a um resultado famoso, conhecido como teorema central do limite⁷, discutido na Seção 4.4.

Às vezes não conseguimos desenvolver nem mesmo aproximações úteis para \(n\) grande, seja pela dificuldade do problema, seja porque \(n\) é simplesmente pequeno demais numa aplicação específica. Felizmente, porém, podemos então usar a abordagem de Monte Carlo, na qual o poder do computador entra em cena. Isso é discutido na Seção 4.5.

No Capítulo 5, veremos que, em aplicações estatísticas, em geral não sabemos muito sobre a distribuição subjacente dos \(X_i\) dos quais estamos amostrando. Coletamos então uma amostra e um valor, como \(Y\), que servirá de estimativa⁸ de uma característica da distribuição subjacente; por exemplo, a média amostral \(\bar{X}\) servirá de estimativa da média da distribuição dos \(X_i\). Queremos então saber o que acontece com essas estimativas à medida que \(n\) cresce. Se tivermos escolhido bem as estimativas, elas convergirão para as quantidades que estamos estimando à medida que \(n\) aumenta. Uma estimativa assim é chamada de consistente. Nas Seções 4.2 e 4.3, discutiremos os teoremas de consistência mais importantes, a saber, as leis fraca e forte dos grandes números.

4.1 Distribuições Amostrais

Consideremos um exemplo bem simples.

Às vezes temos sorte e conseguimos obter a distribuição amostral de \[ Y = h(X_1, X_2, \ldots, X_n) \] exatamente, numa forma útil para calcular probabilidades e esperanças de \(Y\). Em geral, porém, quando queremos calcular \(P(Y \in B) = P_Y(B)\), temos de determinar o conjunto de amostras \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) tais que \(Y \in B\), dado por \[ h^{-1}B = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : h(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in B\}, \] e então calcular \(P((X_1, X_2, \ldots, X_n) \in h^{-1}B)\). Em geral, esse é um problema intratável, e aproximações ou métodos de simulação (Monte Carlo) serão essenciais. Técnicas para obter essas aproximações serão discutidas nas seções seguintes deste capítulo. Em particular, desenvolveremos uma aproximação importante para a distribuição amostral da média amostral \[ \bar{X} = h(X_1, X_2, \ldots, X_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i. \]

Exercícios

4.1.1 Suponha que \(X_1, X_2, X_3\) sejam i.i.d. com função de probabilidade \(p_X\) do Exemplo 4.1.1. Determine a distribuição exata de \(Y_3 = (X_1 X_2 X_3)^{1/3}\).

4.1.2 Suponha que um dado honesto de seis faces seja lançado \(n = 2\) vezes, de forma independente. Calcule a distribuição exata da média amostral.

4.1.3 Suponha que uma urna contenha uma proporção \(p\) de fichas marcadas com 0 e uma proporção \(1 - p\) de fichas marcadas com 1. Para uma amostra de \(n = 2\), retirada com reposição, determine a distribuição da média amostral.

4.1.4 Suponha que uma urna contenha \(N\) fichas marcadas com 0 e \(M\) fichas marcadas com 1. Para uma amostra de \(n = 2\), retirada sem reposição, determine a distribuição da média amostral.

4.1.5 Suponha que um dado simétrico seja lançado \(n = 20\) vezes, de forma independente. Obtenha a distribuição amostral exata do máximo dessa amostra.

4.1.6 Suponha que três dados honestos sejam lançados, e seja \(Y\) o número de faces 6 obtidas. Calcule a distribuição exata de \(Y\).

4.1.7 Suponha que dois dados honestos sejam lançados, e seja \(W\) o produto dos dois números obtidos. Calcule a distribuição exata de \(W\).

4.1.8 Suponha que dois dados honestos sejam lançados, e seja \(Z\) a diferença entre os dois números obtidos (isto é, o primeiro número menos o segundo). Calcule a distribuição exata de \(Z\).

4.1.9 Suponha que quatro moedas honestas sejam lançadas, e seja \(Y\) o número de pares de moedas que caem do mesmo jeito (isto é, o número de pares em que as duas dão cara ou as duas dão coroa). Calcule a distribuição exata de \(Y\).

Exercícios computacionais

4.1.10 Gere uma amostra de \(N = 10^3\) valores de \(Y_{50}\) do Exemplo 4.1.1. Calcule a média e o desvio padrão¹³ dessa amostra.

4.1.11 Suponha que \(X_1, X_2, \ldots, X_{10}\) seja uma sequência i.i.d. de uma distribuição \(N(0, 1)\). Gere uma amostra de \(N = 10^3\) valores da distribuição de \(\max(X_1, X_2, \ldots, X_{10})\). Calcule a média e o desvio padrão dessa amostra.

Problemas

4.1.12 Suponha que \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) seja uma amostra da distribuição Poisson\((\lambda)\). Determine a distribuição amostral exata de \(Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\). (Sugestão: determine a função geradora de momentos¹⁴ de \(Y\) e use o teorema da unicidade¹⁵.)

4.1.13 Suponha que \(X_1, X_2\) seja uma amostra da distribuição Uniforme¹⁶\([0, 1]\). Determine a distribuição amostral exata de \(Y = X_1 + X_2\). (Sugestão: determine a densidade de \(Y\).)

4.1.14 Suponha que \(X_1, X_2\) seja uma amostra da distribuição Uniforme\([0, 1]\). Determine a distribuição amostral exata de \(Y = (X_1 X_2)^{1/2}\). (Sugestão: determine a densidade de \(\ln Y\) e depois transforme.)

4.2 Convergência em Probabilidade

Noções de convergência são fundamentais em boa parte da matemática. Por exemplo, se \(a_n = 1 - 1/n\), então \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1/2\), \(a_3 = 2/3\), \(a_4 = 3/4\) etc. Vemos que os valores de \(a_n\) estão ficando “cada vez mais próximos” de 1 e, de fato, sabemos do cálculo que \(\lim_{n \to \infty} a_n = 1\) neste caso.

Para variáveis aleatórias, as noções de convergência são mais complicadas. Se os próprios valores são aleatórios, como podem “convergir” para alguma coisa? Por outro lado, podemos considerar várias probabilidades associadas às variáveis aleatórias e ver se elas convergem em algum sentido.

A noção mais simples de convergência de variáveis aleatórias é a convergência em probabilidade¹⁷, definida a seguir. (Outras noções de convergência serão desenvolvidas nas seções seguintes.)

Na Figura 4.2.1, representamos as diferenças \(X_n - Y\), para valores selecionados de \(n\), em 10 sequências geradas \(\{X_n - Y\}\), numa situação típica em que as variáveis aleatórias \(X_n\) convergem em probabilidade para uma variável aleatória \(Y\). Também traçamos as retas horizontais em \(\pm\epsilon\) para \(\epsilon = 0{,}25\). Com isso, vemos a concentração crescente da distribuição de \(X_n - Y\) em torno de 0 à medida que \(n\) cresce, como exige a Definição 4.2.1. De fato, os 10 valores observados de \(X_{100} - Y\) satisfazem todos a desigualdade \(|X_{100} - Y| < 0{,}25\).

Vejamos algumas aplicações dessa definição.

Um caso comum é aquele em que as distribuições dos \(X_n\) não são degeneradas, mas \(Y\) é apenas uma constante, como no exemplo a seguir.

4.2.1 A Lei Fraca dos Grandes Números

Uma das aplicações mais importantes da convergência em probabilidade é a lei fraca dos grandes números¹⁸. Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes, todas com a mesma média \(\mu\). Para \(n\) grande, o que podemos dizer sobre a média delas, \[ M_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)? \] Chamamos \(M_n\) de média da amostra, ou média amostral, de \(X_1, \ldots, X_n\). Quando o tamanho da amostra¹⁹ \(n\) está fixo, usaremos muitas vezes \(\bar{X}\) como notação da média amostral em vez de \(M_n\).

Por exemplo, se lançamos uma sequência de moedas honestas e tomamos \(X_i = 1\) ou \(X_i = 0\) conforme a \(i\)-ésima moeda dê cara ou coroa, então \(M_n\) representa a fração das \(n\) primeiras moedas que deram cara. Seria de esperar que, para \(n\) grande, essa fração fique próxima de \(1/2\), isto é, do valor esperado²⁰ dos \(X_i\).

A lei fraca dos grandes números dá um sentido preciso em que as médias \(M_n\) tendem a se aproximar de \(E(X_i)\), para \(n\) grande.

É fato que, no Teorema 4.2.1, se exigirmos que as variáveis \(X_i\) sejam i.i.d. em vez de apenas independentes, nem sequer precisamos que os \(X_i\) tenham variância finita. Mas não discutiremos esse resultado aqui. Vejamos algumas aplicações da lei fraca dos grandes números.

Exercícios

4.2.1 Sejam \(U \sim \text{Uniforme}[5, 10]\), \(Z = I_{U \in [5, 7)}\) e \(Z_n = I_{U \in [5,\, 7 + 1/n^2)}\). Prove que \(Z_n \to Z\) em probabilidade.

4.2.2 Sejam \(Y \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e \(X_n = Y^n\). Prove que \(X_n \to 0\) em probabilidade.

4.2.3 Sejam \(W_1, W_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(\text{Exponencial}(3)\). Prove que, para algum \(n\), temos \(P(W_1 + W_2 + \cdots + W_n < n/2) > 0{,}999\).

4.2.4 Sejam \(Y_1, Y_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(N(2, 5)\). Prove que, para algum \(n\), temos \(P(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n > n) > 0{,}999\).

4.2.5 Sejam \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(\text{Poisson}(8)\). Prove que, para algum \(n\), temos \(P(X_1 + X_2 + \cdots + X_n > 9n) < 0{,}001\).

4.2.6 Suponha que \(X \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e seja \(Y_n = \frac{n-1}{n} X\). Prove que \(Y_n \xrightarrow{P} X\).

4.2.7 Sejam \(H_n\) o número de caras no lançamento de \(n\) moedas honestas, \(X_n = e^{-H_n}\) e \(Y = 0\). Prove que \(X_n \xrightarrow{P} Y\).

4.2.8 Sejam \(Z_n \sim \text{Uniforme}[0, n]\), \(W_n = 5Z_n/(Z_n + 1)\) e \(W = 5\). Prove que \(W_n \xrightarrow{P} W\).

4.2.9 Considere o lançamento de \(n\) moedas honestas. Sejam \(H_n\) o número total de caras e \(F_n\) o número de caras nas moedas de 1 a \(n - 1\) (isto é, omitindo a \(n\)-ésima moeda). Sejam \(X_n = H_n/(H_n + 1)\), \(Y_n = F_n/(H_n + 1)\) e \(Z = 0\). Prove que \(X_n - Y_n \xrightarrow{P} Z\).

4.2.10 Seja \(Z_n\) a soma dos quadrados dos números obtidos ao lançarmos \(n\) dados honestos. Encontre (com demonstração) um número \(m\) tal que \(\frac{1}{n} Z_n \xrightarrow{P} m\). (Sugestão: use a lei fraca dos grandes números.)

4.2.11 Considere o lançamento de \(n\) moedas honestas de 5 centavos e \(n\) moedas honestas de 10 centavos. Seja \(X_n\) igual a 4 vezes o número de moedas de 5 centavos que dão cara mais 5 vezes o número de moedas de 10 centavos que dão cara. Encontre (com demonstração) um número \(r\) tal que \(\frac{1}{n} X_n \xrightarrow{P} r\).

Exercícios computacionais

4.2.12 Gere \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. com distribuição \(\text{Exponencial}(5)\) e calcule \(M_n\) para \(n = 20\). Repita isso \(N\) vezes, com \(N\) grande (se possível, tome \(N = 10^5\); caso contrário, tão grande quanto for viável), e calcule a proporção dos valores de \(M_n\) que ficam entre 0,19 e 0,21. Repita com \(n = 50\). Que propriedade da convergência em probabilidade seus resultados ilustram?

4.2.13 Gere \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. com distribuição \(\text{Poisson}(7)\) e calcule \(M_n\) para \(n = 20\). Repita isso \(N\) vezes, com \(N\) grande (se possível, tome \(N = 10^5\); caso contrário, tão grande quanto for viável), e calcule a proporção dos valores de \(M_n\) que ficam entre 6,99 e 7,01. Repita com \(n = 100\). Que propriedade da convergência em probabilidade seus resultados ilustram?

Problemas

4.2.14 Dê um exemplo de variáveis aleatórias \(X_1, X_2, \ldots\) tais que \(\{X_n\}\) converge para 0 em probabilidade, mas \(E(X_n) = 1\) para todo \(n\). (Sugestão: suponha que \(P(X_n = n) = 1/n\) e \(P(X_n = 0) = 1 - 1/n\).)

4.2.15 Prove que \(X_n \xrightarrow{P} 0\) se e somente se \(|X_n| \xrightarrow{P} 0\).

4.2.16 Prove ou refute: \(X_n \xrightarrow{P} 5\) se e somente se \(|X_n| \xrightarrow{P} 5\).

4.2.17 Suponha que \(X_n \xrightarrow{P} X\) e \(Y_n \xrightarrow{P} Y\). Sejam \(Z_n = X_n + Y_n\) e \(Z = X + Y\). Prove que \(Z_n \xrightarrow{P} Z\).

Desafios

4.2.18 Suponha que \(X_n \xrightarrow{P} X\) e que \(f\) seja uma função contínua. Prove que \(f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)\).

4.3 Convergência com Probabilidade 1

Uma noção de convergência para variáveis aleatórias que está intimamente associada à convergência de uma sequência de números reais é dada pelo conceito de convergência com probabilidade 1²³. Essa propriedade é apresentada na definição a seguir.

Na Figura 4.3.1, ilustramos essa convergência com o gráfico da sequência de diferenças \(\{X_n - Y\}\) numa situação típica em que as variáveis aleatórias \(X_n\) convergem com probabilidade 1 para uma variável aleatória \(Y\). Também traçamos as retas horizontais em \(\pm\epsilon\) para \(\epsilon = 0{,}1\). Note que, inevitavelmente, todos os valores \(X_n - Y\) ficam no intervalo \((-0{,}1; 0{,}1)\) ou, em outras palavras, os valores de \(X_n\) ficam a menos de \(0{,}1\) dos valores de \(Y\).

A Definição 4.3.1 indica que, para qualquer \(\epsilon > 0\) dado, existirá um valor \(N_\epsilon\) tal que \(\lvert X_n - Y\rvert < \epsilon\) para todo \(n \ge N_\epsilon\). O valor de \(N_\epsilon\) varia conforme o valor observado da sequência \(\{X_n - Y\}\), mas ele sempre existe. Compare isso com a situação mostrada na Figura 4.2.1, que diz apenas que a distribuição de probabilidade de \(X_n - Y\) se concentra em torno de 0 à medida que \(n\) cresce, e não que os valores individuais de \(X_n - Y\) estarão necessariamente todos perto de 0 (veja também o Exemplo 4.3.2).

Vejamos um exemplo disso.

Pode-se perguntar qual é a relação entre a convergência em probabilidade e a convergência com probabilidade 1. O teorema a seguir dá uma resposta.

Por outro lado, a recíproca²⁵ do Teorema 4.3.1 é falsa, como mostra o exemplo a seguir.

O Teorema 4.3.1 e o Exemplo 4.3.2 mostram, juntos, que a convergência com probabilidade 1 é uma noção mais forte que a convergência em probabilidade.

Ora, a lei fraca dos grandes números (Seção 4.2.1) conclui apenas que as médias \(M_n\) convergem em probabilidade para \(E(X_i)\). Uma versão mais forte desse resultado concluiria, em vez disso, a convergência com probabilidade 1. É o que consideramos agora.

4.3.1 A Lei Forte dos Grandes Números

O resultado a seguir é um fortalecimento da lei fraca dos grandes números, porque conclui a convergência com probabilidade 1, e não apenas a convergência em probabilidade.

Esse resultado diz que as médias amostrais convergem com probabilidade 1 para \(\mu\).

Assim como o Teorema 4.2.1, ele diz que, para \(n\) grande, as médias \(M_n\) costumam ficar perto de \(\mu = E(X_i)\). Mas diz, além disso, que, se esperarmos o bastante (isto é, se \(n\) for grande o suficiente), então, a partir de algum momento, as médias ficarão todas perto de \(\mu\), para todo \(n\) suficientemente grande. Em outras palavras, a média amostral é consistente para \(\mu\).

Exercícios

4.3.1 Seja \(U \sim \text{Uniforme}[5, 10]\), e sejam \(Z = I_{[5, 7)}(U)\) (isto é, \(Z\) é a função indicadora de \([5, 7)\)) e \(Z_n = I_{[5, 7 + 1/n^2)}(U)\). Prove que \(Z_n \to Z\) com probabilidade 1.

4.3.2 Seja \(Y \sim \text{Uniforme}[0, 1]\), e seja \(X_n = Y^n\). Prove que \(X_n \to 0\) com probabilidade 1.

4.3.3 Sejam \(W_1, W_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(\text{Exponencial}(3)\). Prove que, com probabilidade 1, para algum \(n\), temos \(W_1 + W_2 + \cdots + W_n < n/2\).

4.3.4 Sejam \(Y_1, Y_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(N(2, 5)\). Prove que, com probabilidade 1, para algum \(n\), temos \(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n > n\).

4.3.5 Suponha que \(X_n \to X\) com probabilidade 1 e também que \(Y_n \to Y\) com probabilidade 1. Prove que \(P(X_n \to X \text{ e } Y_n \to Y) = 1\).

4.3.6 Suponha que \(Z_1, Z_2, \ldots\) sejam i.i.d. com média finita \(\mu\). Seja \(M_n = (Z_1 + \cdots + Z_n)/n\). Determine (com justificativa) se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. (a) Com probabilidade 1, \(M_n = \mu\) para algum \(n\).(b) Com probabilidade 1, \(\mu - 0{,}01 < M_n < \mu + 0{,}01\) para algum \(n\).(c) Com probabilidade 1, \(\mu - 0{,}01 < M_n < \mu + 0{,}01\) para todo \(n\), exceto um número finito deles.(d) Para qualquer \(x \in R^1\), com probabilidade 1, \(x - 0{,}01 < M_n < x + 0{,}01\) para algum \(n\).

4.3.7 Seja \(\{X_n\}\) i.i.d., com \(X_n \sim \text{Uniforme}[3, 7]\). Seja \(Y_n = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n\). Encontre (com demonstração) um número \(m\) tal que \(Y_n \xrightarrow{\text{q.c.}} m\). (Sugestão: use a lei forte dos grandes números.)

4.3.8 Seja \(Z_n\) a soma dos quadrados dos números obtidos quando lançamos \(n\) dados honestos. Encontre (com demonstração) um número \(m\) tal que \(\frac{1}{n} Z_n \xrightarrow{\text{q.c.}} m\).

4.3.9 Considere o lançamento de \(n\) moedas honestas de 5 centavos e de \(n\) moedas honestas de 10 centavos. Seja \(X_n\) igual a 4 vezes o número de moedas de 5 centavos que dão cara mais 5 vezes o número de moedas de 10 centavos que dão cara. Encontre (com demonstração) um número \(r\) tal que \(\frac{1}{n} X_n \xrightarrow{\text{q.c.}} r\).

4.3.10 Suponha que \(Y_n \xrightarrow{\text{q.c.}} Y\). Isso implica que \(P(\lvert Y_5 - Y\rvert > \lvert Y_4 - Y\rvert)\) \({}= 0\)? Explique.

4.3.11 Considere lançar repetidamente uma moeda honesta. Seja \(H_n\) o número de caras nos \(n\) primeiros lançamentos, e seja \(Z_n = H_n/n\). (a) Prove que, com probabilidade 1, existe algum \(m\) tal que \(\lvert Z_n - 1/2\rvert < 0{,}001\) para todo \(n \ge m\).(b) Seja \(r\) o menor inteiro positivo que satisfaz \(\lvert Z_r - 1/2\rvert < 0{,}001\). É necessariamente verdade que \(\lvert Z_n - 1/2\rvert < 0{,}001\) para todo \(n \ge r\)? Por quê?

4.3.12 Suponha que \(P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2\), e seja \(X_n = X\) para \(n = 1, 2, 3, \ldots\). (Isto é, as variáveis aleatórias \(X_n\) são todas idênticas.) Seja \(Y_n = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n\). (a) Prove que \(P(\lim_{n \to \infty} Y_n = 0)\) \({}= P(\lim_{n \to \infty} Y_n = 1)\) \({}= 1/2\).(b) Prove que não existe um número \(m\) tal que \(P(\lim_{n \to \infty} Y_n = m) = 1\).(c) Por que a parte (b) não contradiz a lei dos grandes números²⁹?

Exercícios computacionais

4.3.13 Gere \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. com distribuição \(\text{Exponencial}(5)\), com \(n\) grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Faça o gráfico dos valores \(M_1, M_2, \ldots, M_n\). Para que valor eles estão convergindo? Com que rapidez?

4.3.14 Gere \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. com distribuição \(\text{Poisson}(7)\), com \(n\) grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Faça o gráfico dos valores \(M_1, M_2, \ldots, M_n\). Para que valor eles estão convergindo? Com que rapidez?

4.3.15 Gere \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) i.i.d. com distribuição \(N(-4, 3)\), com \(n\) grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Faça o gráfico dos valores \(M_1, M_2, \ldots, M_n\). Para que valor eles estão convergindo? Com que rapidez?

Problemas

4.3.16 Suponha que, para cada inteiro positivo \(k\), existam variáveis aleatórias \(W_k, X_{k,1}, X_{k,2}, \ldots\) tais que \(P(\lim_{n \to \infty} X_{k,n} = W_k) = 1\). Prove que \(P(\lim_{n \to \infty} X_{k,n} = W_k \text{ para todo } k)\) \({}= 1\).

4.3.17 Prove que \(X_n \xrightarrow{\text{q.c.}} 0\) se e somente se \(\lvert X_n\rvert \xrightarrow{\text{q.c.}} 0\).

4.3.18 Prove ou refute: \(X_n \xrightarrow{\text{q.c.}} 5\) se e somente se \(\lvert X_n\rvert \xrightarrow{\text{q.c.}} 5\).

4.3.19 Suponha que \(X_n \xrightarrow{\text{q.c.}} X\) e \(Y_n \xrightarrow{\text{q.c.}} Y\). Sejam \(Z_n = X_n + Y_n\) e \(Z = X + Y\). Prove que \(Z_n \xrightarrow{\text{q.c.}} Z\).

Desafios

4.3.20 Suponha que, para cada número real \(r \in [0, 1]\), existam variáveis aleatórias \(W_r, X_{r,1}, X_{r,2}, \ldots\) tais que \(P(\lim_{n \to \infty} X_{r,n} = W_r) = 1\). Prove ou refute que devemos ter \(P(\lim_{n \to \infty} X_{n,r} = W_r \text{ para todo } r \in [0, 1])\) \({}= 1\). ³⁰

4.3.21 Dê um exemplo de variáveis aleatórias \(X_1, X_2, \ldots\) tais que \(\{X_n\}\) converge para 0 com probabilidade 1, mas \(E(X_n) = 1\) para todo \(n\).

4.3.22 Suponha que \(X_n \xrightarrow{\text{q.c.}} X\) e que \(f\) seja uma função contínua. Prove que \(f(X_n) \xrightarrow{\text{q.c.}} f(X)\).

4.4 Convergência em Distribuição

Há ainda outra noção de convergência de uma sequência de variáveis aleatórias que é importante nas aplicações da probabilidade e da estatística.

Intuitivamente, \(\{X_n\}\) converge em distribuição para \(X\) se, para \(n\) grande, a distribuição de \(X_n\) está próxima da de \(X\). A importância disso, como veremos, é que muitas vezes é difícil trabalhar com a distribuição de \(X_n\), enquanto a de \(X\) é muito mais simples. Com \(X_n\) convergindo em distribuição para \(X\), porém, podemos aproximar a distribuição de \(X_n\) pela de \(X\).

Muitos outros exemplos de convergência em distribuição são dados pelo teorema central do limite, discutido na próxima seção. Antes, paramos para considerar a relação entre a convergência em distribuição e as noções de convergência anteriores.

A recíproca do Teorema 4.4.1 é falsa. De fato, o fato de \(X_n\) convergir em distribuição para \(X\) não diz nada sobre a relação subjacente entre \(X_n\) e \(X\); diz apenas algo sobre as distribuições delas. O exemplo a seguir ilustra isso.

O resultado a seguir, enunciado sem demonstração, indica como as funções geradoras de momentos podem ser usadas para verificar a convergência em distribuição. (Ele generaliza o Teorema 3.4.6.)

Usaremos esse resultado para provar um dos teoremas mais famosos da probabilidade: o teorema central do limite.

Por fim, observamos que combinar o Teorema 4.4.1 com o Teorema 4.3.1 revela o seguinte.

4.4.1 O Teorema Central do Limite

Apresentamos agora o teorema central do limite, um dos resultados mais importantes de toda a teoria da probabilidade. Intuitivamente, ele diz que uma soma grande de variáveis aleatórias i.i.d., normalizada de forma adequada, terá sempre distribuição aproximadamente normal. Isso mostra que a distribuição normal é extremamente fundamental em probabilidade e estatística, embora sua função densidade seja complicada e sua função de distribuição acumulada³³ seja intratável.

Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) seja uma sequência i.i.d. de variáveis aleatórias, cada uma com média finita \(\mu\) e variância finita \(\sigma^2\). Seja \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) a soma amostral³⁴ e \(M_n = S_n/n\) a média amostral. O teorema central do limite trata da distribuição da variável aleatória \[ Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma} = \frac{M_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \sqrt{n} \left(\frac{M_n - \mu}{\sigma}\right), \] em que \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\). Sabemos que \(E(M_n) = \mu\) e \(\Var(M_n) = \sigma^2/n\), o que implica \(E(Z_n) = 0\) e \(\Var(Z_n) = 1\). A variável \(Z_n\) é obtida, portanto, da média amostral (ou da soma amostral) subtraindo sua média e dividindo pelo seu desvio padrão. Essa transformação é chamada de padronização de uma variável aleatória, para que ela tenha média 0 e variância 1. Portanto, \(Z_n\) é a versão padronizada³⁵ da média amostral (da soma amostral).

Observe que a distribuição de \(Z_n\) tem duas características em comum com a distribuição \(N(0, 1)\): média 0 e variância 1. O teorema central do limite mostra que há uma relação ainda mais forte.

O teorema central do limite é tão importante que vamos reenunciar suas conclusões de várias maneiras diferentes.

Podemos escrever isso da seguinte forma.

Observamos que não é essencial, no teorema central do limite, dividir por \(\sigma\); nesse caso, o teorema afirma, em vez disso, que \((S_n - n\mu)/\sqrt{n}\) (ou \(\sqrt{n}\,(M_n - \mu)\)) converge em distribuição para a distribuição \(N(0, \sigma^2)\). Isto é, a distribuição limite ainda será normal, mas terá variância \(\sigma^2\) em vez de variância 1.

Da mesma forma, em vez de dividir exatamente por \(\sigma\), basta dividir por qualquer quantidade \(\sigma_n\), desde que \(\sigma_n \xrightarrow{\text{q.c.}} \sigma\). Uma modificação simples da demonstração do Teorema 4.4.2 leva ao resultado a seguir.

Para ilustrar o teorema central do limite, consideramos um experimento de simulação.

Consideramos algumas outras aplicações do teorema central do limite.

Um dos usos mais importantes do teorema central do limite é que ele leva a um método para avaliar o erro de uma média quando ela está estimando ou aproximando alguma quantidade de interesse.

4.4.2 O Teorema Central do Limite e a Avaliação do Erro

Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) seja uma sequência i.i.d. de variáveis aleatórias, cada uma com média finita \(\mu\) e variância finita \(\sigma^2\), e que estejamos usando a média amostral \(M_n\) para aproximar a média \(\mu\). Essa situação surge com frequência em muitos problemas computacionais (ver a Seção 4.5) e estatísticos (ver o Capítulo 6). Nesse contexto, podemos gerar os \(X_i\), mas não conhecemos o valor de \(\mu\).

Se aproximamos \(\mu\) por \(M_n\), uma pergunta natural é: quanto erro há na aproximação? O teorema central do limite nos diz que \begin{align*} \Phi(3) - \Phi(-3) &= \lim_{n \to \infty} P\left(-3 < \frac{M_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < 3\right)\\ &= \lim_{n \to \infty} P\left(M_n - 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < M_n + 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right). \end{align*} Usando a Tabela D.2 (ou um software estatístico), temos \(\Phi(3) - \Phi(-3)\) \({}= 0{,}9987 - (1 - 0{,}9987)\) \({}= 0{,}9974\). Assim, para \(n\) grande, temos que o intervalo \[ \left(M_n - 3\sigma/\sqrt{n}, M_n + 3\sigma/\sqrt{n}\right) \] contém o valor desconhecido de \(\mu\) praticamente com certeza⁴⁰ (na verdade, com probabilidade de cerca de 0,9974). Portanto, o semicomprimento⁴¹ \(3\sigma/\sqrt{n}\) desse intervalo nos dá uma avaliação do erro da aproximação \(M_n\). Observe que \(\Var(M_n) = \sigma^2/n\), de modo que o semicomprimento do intervalo é igual a 3 desvios padrão da estimativa \(M_n\).

Como não conhecemos \(\mu\), é extremamente improvável que conheçamos \(\sigma\) (já que sua definição usa \(\mu\)). Mas, se conseguirmos encontrar uma estimativa consistente⁴² \(\sigma_n\) de \(\sigma\), então podemos usar o Corolário 4.4.4 para construir esse intervalo.

Acontece que a escolha correta de \(\sigma_n\) depende do que sabemos sobre a distribuição da qual estamos amostrando (ver o Capítulo 6 para mais discussão sobre isso). Por exemplo, se \(X_1 \sim \text{Bernoulli}(\theta)\), então \(\mu = \theta\) e \(\sigma^2 = \Var(X_1) = \theta(1 - \theta)\). Pela lei forte dos grandes números (Teorema 4.3.2), \(M_n \xrightarrow{\text{q.c.}} \mu = \theta\) e, assim, \[ \sigma_n = \sqrt{M_n(1 - M_n)} \xrightarrow{\text{q.c.}} \sqrt{\theta(1 - \theta)} = \sigma. \] Então, usando o mesmo argumento de antes, temos que, para \(n\) grande, o intervalo \begin{equation} \left(M_n - 3\sqrt{M_n(1 - M_n)/n}, M_n + 3\sqrt{M_n(1 - M_n)/n}\right) \tag{4.4.3} \end{equation} contém o verdadeiro valor de \(\theta\) praticamente com certeza (de novo, com probabilidade de cerca de 0,9974). O semicomprimento de (4.4.3) é uma medida da precisão da estimativa \(M_n\); observe que ele pode ser calculado a partir dos valores \(X_1, \ldots, X_n\). Chamamos a quantidade \((M_n(1 - M_n)/n)^{1/2}\) de erro padrão⁴³ da estimativa \(M_n\).

Para uma variável aleatória \(X_1\) geral, seja \begin{align*} \sigma_n^2 &= \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - M_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \left(\sum_{i=1}^{n} X_i^2 - 2M_n \sum_{i=1}^{n} X_i + nM_n^2\right)\\ &= \frac{n}{n - 1} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - 2M_n^2 + M_n^2\right) = \frac{n}{n - 1} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - M_n^2\right). \end{align*} Pela lei forte dos grandes números, temos \(M_n \xrightarrow{\text{q.c.}} \mu\) e \[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \xrightarrow{\text{q.c.}} E\left(X_1^2\right) = \sigma^2 + \mu^2. \] Como \(n/(n - 1) \to 1\) e também \(M_n^2 \xrightarrow{\text{q.c.}} \mu^2\), concluímos que \(\sigma_n^2 \xrightarrow{\text{q.c.}} \sigma^2\). Isso implica que \(\sigma_n \xrightarrow{\text{q.c.}} \sigma\); logo, \(\sigma_n\) é consistente para \(\sigma\). É comum chamar \(\sigma_n^2\) de variância amostral da amostra \(X_1, \ldots, X_n\). Quando o tamanho da amostra \(n\) está fixo, muitas vezes denotaremos essa estimativa da variância por \(S^2\).

De novo, usando o argumento acima, temos que, para \(n\) grande, o intervalo \begin{equation} \left(M_n - 3\sigma_n/\sqrt{n}, M_n + 3\sigma_n/\sqrt{n}\right) = \left(M_n - 3S/\sqrt{n}, M_n + 3S/\sqrt{n}\right) \tag{4.4.4} \end{equation} contém o verdadeiro valor de \(\mu\) praticamente com certeza (também com probabilidade de cerca de 0,9974). Portanto, o semicomprimento é uma medida da precisão da estimativa \(M_n\); observe que ele pode ser calculado a partir dos valores \(X_1, \ldots, X_n\). A quantidade \(S/\sqrt{n}\) é chamada de erro padrão da estimativa \(M_n\).

Usaremos essas estimativas do erro das aproximações na próxima seção.

Exercícios

4.4.1 Suponha que \(P(X_n = i) = (n + i)/(3n + 6)\) para \(i = 1, 2, 3\). Suponha também que \(P(X = i) = 1/3\) para \(i = 1, 2, 3\). Prove que \(\{X_n\}\) converge em distribuição para \(X\).

4.4.2 Suponha que \(P(Y_n = k) = (1 - 2^{-n-1})^{-1}/2^{k+1}\) para \(k = 0, 1, \ldots, n\). Seja \(Y \sim \text{Geométrica}(1/2)\). Prove que \(\{Y_n\}\) converge em distribuição para \(Y\).

4.4.3 Seja \(Z_n\) com densidade \((n + 1)x^n\) para \(0 < x < 1\), e 0 caso contrário. Seja \(Z = 1\). Prove que \(\{Z_n\}\) converge em distribuição para \(Z\).

4.4.4 Seja \(W_n\) com densidade \[ \frac{1 + x/n}{1 + 1/2n} \] para \(0 < x < 1\), e 0 caso contrário. Seja \(W \sim \text{Uniforme}[0, 1]\). Prove que \(\{W_n\}\) converge em distribuição para \(W\).

4.4.5 Sejam \(Y_1, Y_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(\text{Exponencial}(3)\). Use o teorema central do limite e a Tabela D.2 (ou um software) para estimar a probabilidade \(P(\sum_{i=1}^{1600} Y_i \le 540)\).

4.4.6 Sejam \(Z_1, Z_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(\text{Uniforme}[-20, 10]\). Use o teorema central do limite e a Tabela D.2 (ou um software) para estimar a probabilidade \(P(\sum_{i=1}^{900} Z_i \ge -4470)\).

4.4.7 Sejam \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição \(\text{Geométrica}(1/4)\). Use o teorema central do limite e a Tabela D.2 (ou um software) para estimar a probabilidade \(P(\sum_{i=1}^{800} X_i \ge 2450)\).

4.4.8 Suponha que \(X_n \sim N(0, 1/n)\), isto é, \(X_n\) tem distribuição normal com média 0 e variância \(1/n\). A sequência \(\{X_n\}\) converge em distribuição para alguma variável aleatória? Se sim, qual é a distribuição dessa variável aleatória?

4.4.9 Suponha que \(P(X_n = i/n) = 2i/n(n + 1)\) para \(i = 1, 2, 3, \ldots, n\). Seja \(Z\) com função densidade dada por \(f(z) = 2z\) para \(0 < z < 1\) e, caso contrário, \(f(z) = 0\). (a) Calcule \(P(Z \le y)\) para \(0 < y < 1\).(b) Calcule \(P(X_n \le m/n)\) para algum inteiro \(1 \le m \le n\). (Sugestão: lembre que \(\sum_{i=1}^{m} i = m(m + 1)/2\).)(c) Calcule \(P(X_n \le y)\) para \(0 < y < 1\).(d) Prove que \(X_n \xrightarrow{D} Z\).

4.4.10 Suponha que \(P(Y_n \le y) = 1 - e^{-2ny/(n+1)}\) para todo \(y > 0\). Prove que \(Y_n \xrightarrow{D} Y\), em que \(Y \sim \text{Exponencial}(\lambda)\) para algum \(\lambda > 0\), e calcule \(\lambda\).

4.4.11 Suponha que \(P(Z_n \le z) = 1 - (1 - \frac{3z}{n})^n\) para todo \(0 < z < n/3\). Prove que \(Z_n \xrightarrow{D} Z\), em que \(Z \sim \text{Exponencial}(\lambda)\) para algum \(\lambda > 0\), e calcule \(\lambda\). (Sugestão: lembre, do cálculo, que \(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{c}{n})^n\) \({}= e^c\) para qualquer número real \(c\).)

4.4.12 Suponha que o tempo de atendimento, em minutos, num banco tenha distribuição Exponencial com \(\lambda = 1/2\). Use o teorema central do limite para estimar a probabilidade de que o tempo médio de atendimento dos primeiros \(n\) clientes seja menor que 2,5 minutos, quando: (a) \(n = 16\).(b) \(n = 36\).(c) \(n = 100\).

4.4.13 Suponha que o número de quilogramas de uma liga metálica produzidos por uma fábrica a cada semana seja uniformemente distribuído entre 20 e 30. Use o teorema central do limite para estimar a probabilidade de que a produção do próximo ano seja menor que 1280 quilogramas. (Suponha que um ano tenha exatamente 52 semanas.)

4.4.14 Suponha que o tempo, em dias, até a falha de um componente tenha distribuição Gama com \(\alpha = 5\) e \(\lambda = 1/10\). Quando um componente falha, ele é imediatamente substituído por um componente novo. Use o teorema central do limite para estimar a probabilidade de que 40 componentes, juntos, sejam suficientes para durar pelo menos 6 anos. (Suponha que um ano tenha exatamente 365,25 dias.)

Exercícios computacionais

4.4.15 Gere \(N\) amostras \(X_1, X_2, \ldots, X_{20} \sim \text{Exponencial}(3)\) para \(N\) grande (\(N = 10^4\), se possível). Use essas amostras para estimar a probabilidade \(P(1/6 \le M_{20} \le 1/2)\). Como sua resposta se compara com a aproximação dada pelo teorema central do limite?

4.4.16 Gere \(N\) amostras \(X_1, X_2, \ldots, X_{30} \sim \text{Uniforme}[-20, 10]\) para \(N\) grande (\(N = 10^4\), se possível). Use essas amostras para estimar a probabilidade \(P(M_{30} \le -5)\). Como sua resposta se compara com a aproximação dada pelo teorema central do limite?

4.4.17 Gere \(N\) amostras \(X_1, X_2, \ldots, X_{20} \sim \text{Geométrica}(1/4)\) para \(N\) grande (\(N = 10^4\), se possível). Use essas amostras para estimar a probabilidade \(P(2{,}5 \le M_{20} \le 3{,}3)\). Como sua resposta se compara com a aproximação dada pelo teorema central do limite?

4.4.18 Gere \(N\) amostras \(X_1, X_2, \ldots, X_{20}\) da distribuição de \(\log Z\), em que \(Z \sim \text{Gama}(4, 1)\), para \(N\) grande (\(N = 10^4\), se possível). Use essas amostras para construir um histograma de densidade dos valores de \(M_{20}\). Comente a forma desse gráfico.

4.4.19 Gere \(N\) amostras \(X_1, X_2, \ldots, X_{20}\) da distribuição \(\text{Binomial}(10; 0{,}01)\) para \(N\) grande (\(N = 10^4\), se possível). Use essas amostras para construir um histograma de densidade dos valores de \(M_{20}\). Comente a forma desse gráfico.

Problemas

4.4.20 Seja \(a_1, a_2, \ldots\) uma sequência qualquer de números reais não negativos com \(\sum_i a_i = 1\). Suponha que \(P(X = i) = a_i\) para todo inteiro positivo \(i\). Construa uma sequência \(\{X_n\}\) de variáveis aleatórias absolutamente contínuas tal que \(X_n \to X\) em distribuição.

4.4.21 Seja \(f : [0, 1] \to (0, \infty)\) uma função contínua positiva tal que \(\int_0^1 f(x)\, dx = 1\). Considere variáveis aleatórias \(X\) e \(\{X_n\}\) tais que \(P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\, dx\) para \(a \le b\) e \[ P\left(X_n = \frac{i}{n}\right) = \frac{f(i/n)}{\sum_{j=1}^{n} f(j/n)} \] para \(i = 1, 2, 3, \ldots, n\). Prove que \(X_n \to X\) em distribuição.

4.4.22 Suponha que \(Y_i = X_i^3\) e que \(X_1, \ldots, X_n\) seja uma amostra de uma distribuição \(N(0, 1)\). Indique como você aproximaria a probabilidade \(P(M_n \le m)\), em que \(M_n = (Y_1 + \cdots + Y_n)/n\).

4.4.23 Suponha que \(Y_i = \cos(2\pi U_i)\) e que \(U_1, \ldots, U_n\) seja uma amostra da distribuição \(\text{Uniforme}[0, 1]\). Indique como você aproximaria a probabilidade \(P(M_n \le m)\), em que \(M_n = (Y_1 + \cdots + Y_n)/n\).

Problemas computacionais

4.4.24 Suponha que \(Y = X^3\) e \(X \sim N(0, 1)\). Gerando uma amostra grande (\(n = 10^4\), se possível) da distribuição de \(Y\), aproxime a probabilidade \(P(Y \le 1)\) e avalie o erro da sua aproximação. Calcule essa probabilidade exatamente e compare-a com a sua aproximação.

4.4.25 Suponha que \(Y = X^3\) e \(X \sim N(0, 1)\). Gerando uma amostra grande (\(n = 10^4\), se possível) da distribuição de \(Y\), aproxime a esperança⁴⁴ \(E(\cos(X^3))\) e avalie o erro da sua aproximação.

Desafios

4.4.26 Suponha que \(X_n \to C\) em distribuição, em que \(C\) é uma constante. Prove que \(X_n \to C\) em probabilidade. (Isso prova que, se \(X\) é constante, então a recíproca do Teorema 4.4.1 vale, embora não valha para \(X\) geral.)

4.5 Aproximações de Monte Carlo

As leis dos grandes números dizem que, se \(X_1, X_2, \ldots\) é uma sequência i.i.d. de variáveis aleatórias com média \(\mu\) e \[ M_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}, \] então, para \(n\) grande, teremos \(M_n \approx \mu\).

Suponha agora que \(\mu\) seja desconhecida. Então, como discutido na Seção 4.4.2, é possível mudar de perspectiva e usar \(M_n\) (para \(n\) grande) como um estimador, ou aproximação, de \(\mu\). Sempre que aproximamos ou estimamos uma quantidade, também precisamos dizer algo sobre o tamanho do erro da estimativa. É claro que não podemos dizer exatamente qual é esse erro, pois isso exigiria conhecer o valor exato de \(\mu\). Na Seção 4.4.2, porém, mostramos como o teorema central do limite leva a uma abordagem muito natural para avaliar esse erro, usando três vezes o erro padrão da estimativa. Vejamos alguns exemplos.

Estimadores como esses também podem ser usados para estimar quantidades puramente matemáticas, que não envolvem nenhum dado experimental (como moedas ou pacientes), mas que são difíceis demais de calcular diretamente. Nesse caso, esses estimadores são chamados de aproximações de Monte Carlo (nome tirado do cassino do principado de Mônaco, porque elas introduzem aleatoriedade para resolver problemas que não são aleatórios).

Note que, ao usar uma aproximação de Monte Carlo, não é necessário que o domínio de uma integral ou de uma soma seja todo o conjunto de valores da variável aleatória correspondente, como mostra o exemplo a seguir.

Consideramos agora um problema importante para as aplicações estatísticas da teoria da probabilidade.

Em geral, há mais de um algoritmo de Monte Carlo possível para estimar uma quantidade de interesse. Por exemplo, suponha que queremos aproximar a integral \(\int_a^b g(x)\, dx\), em que supomos que essa integral é finita. Seja \(f\) uma densidade no intervalo \((a, b)\) tal que \(f(x) > 0\) para todo \(x \in (a, b)\), e suponha que temos um algoritmo conveniente para gerar \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição dada por \(f\). Temos que \[ \int_a^b g(x)\, dx = \int_a^b \frac{g(x)}{f(x)} f(x)\, dx = E\left(\frac{g(X)}{f(X)}\right) \] quando \(X\) tem distribuição com densidade \(f\). Então podemos estimar \(\int_a^b g(x)\, dx\) por \[ M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{g(X_i)}{f(X_i)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} T_i, \] em que \(T_i = g(X_i)/f(X_i)\). Na prática, foi isso que fizemos no Exemplo 4.5.3 (\(f\) é a densidade Uniforme\([0, 1]\)), no Exemplo 4.5.4 (\(f\) é a densidade Exponencial\((25)\)) e no Exemplo 4.5.6 (\(f\) é a densidade \(N(0, 1)\)). Mas note que há muitas outras escolhas possíveis. No Exemplo 4.5.3, poderíamos ter tomado como \(f\) qualquer densidade beta. No Exemplo 4.5.4, poderíamos ter tomado como \(f\) qualquer densidade gama, e o mesmo vale para o Exemplo 4.5.6. A maioria dos pacotes estatísticos de computador tem comandos para gerar valores dessas distribuições. Num problema dado, qual é o melhor algoritmo a usar?

Nesse caso, naturalmente usaríamos o algoritmo mais eficiente. Para os algoritmos que discutimos aqui, isso significa que, se, com base numa amostra de tamanho \(n\), o algoritmo 1 leva a uma estimativa com erro padrão \(\sigma_1/\sqrt{n}\) e o algoritmo 2 leva a uma estimativa com erro padrão \(\sigma_2/\sqrt{n}\), então o algoritmo 1 é mais eficiente que o algoritmo 2 sempre que \(\sigma_1 < \sigma_2\). Naturalmente, preferiríamos o algoritmo 1, porque os intervalos (4.4.3) ou (4.4.4) tenderão a ser mais curtos para o algoritmo 1 com o mesmo tamanho de amostra. Na verdade, uma comparação mais refinada da eficiência levaria em conta também o tempo total de computador usado por cada algoritmo, mas vamos ignorar esse aspecto do problema aqui. Veja o Problema 4.5.21 para mais discussão sobre a eficiência e a escolha do algoritmo no contexto do problema de integração.

Exercícios

4.5.1 Descreva uma aproximação de Monte Carlo de \(\int_{-\infty}^{\infty} \cos^2(x) e^{-x^2/2}\, dx\).

4.5.2 Descreva uma aproximação de Monte Carlo de \(\sum_{j=0}^{m} j^6 \binom{m}{j} 2^j 3^{-m}\). (Sugestão: lembre a distribuição Binomial\((m, 2/3)\).)

4.5.3 Descreva uma aproximação de Monte Carlo de \(\int_0^{\infty} e^{-5x - 14x^2}\, dx\). (Sugestão: lembre a distribuição Exponencial\((5)\).)

4.5.4 Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) são i.i.d. com distribuição Poisson\((\lambda)\), em que \(\lambda\) é desconhecido. Considere \(M_n = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n\) como uma estimativa de \(\lambda\). Suponha que sabemos que \(\lambda \le 10\). Quão grande \(n\) precisa ser para garantir que \(M_n\) esteja a menos de \(0{,}1\) do valor verdadeiro de \(\lambda\) praticamente com certeza, isto é, quando 3 desvios padrão são menores que \(0{,}1\)?

4.5.5 Descreva uma aproximação de Monte Carlo de \(\sum_{j=0}^{\infty} \sin(j^2) 5^j / j!\). Suponha que você dispõe de um algoritmo para gerar valores da distribuição Poisson\((5)\).

4.5.6 Descreva uma aproximação de Monte Carlo de \(\int_0^{10} e^{-x^4}\, dx\). (Sugestão: lembre a distribuição Uniforme\([0, 10]\).)

4.5.7 Suponha que repetimos certo experimento 2000 vezes e obtemos uma média amostral de \(-5\) e um erro padrão de 17. Em termos disso, especifique um intervalo que contenha praticamente com certeza a média verdadeira (desconhecida) \(\mu\) do experimento.

4.5.8 Suponha que repetimos certo experimento 400 vezes e obtemos valores de resposta i.i.d. \(X_1, X_2, \ldots, X_{400}\). Suponha que calculamos que a média amostral é \(M_{400} = 6\) e, além disso, que \(\sum_{i=1}^{400} (X_i)^2 = 15.400\). Em termos disso: (a) Calcule o erro padrão \(\sigma_n\).(b) Especifique um intervalo que contenha praticamente com certeza a média verdadeira (desconhecida) \(\mu\) dos \(X_i\).

4.5.9 Suponha que certo experimento tem probabilidade \(\theta\) de sucesso, em que \(0 < \theta < 1\), mas \(\theta\) é desconhecido. Suponha que repetimos o experimento 1000 vezes, com 400 sucessos e 600 fracassos. Calcule um intervalo de valores que contenha \(\theta\) praticamente com certeza.

4.5.10 Suponha que certo experimento tem probabilidade \(\theta\) de sucesso, em que \(0 < \theta < 1\), mas \(\theta\) é desconhecido. Suponha que repetimos o experimento \(n\) vezes, e seja \(Y\) a fração de sucessos. (a) Em termos de \(\theta\), quanto vale \(\Var(Y)\)?(b) Para que valor de \(\theta\) a \(\Var(Y)\) é máxima?(c) Qual é esse maior valor possível de \(\Var(Y)\)?(d) Calcule o menor inteiro \(n\) tal que possamos ter certeza de que \(\Var(Y) < 0{,}01\), seja qual for o valor de \(\theta\).

4.5.11 Suponha que \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias com densidade conjunta⁵⁰ dada por \(f_{X,Y}(x, y) = C\, g(x, y)\) para \(0 \le x, y \le 1\) (com \(f_{X,Y}(x, y) = 0\) para os demais \(x, y\)), para uma constante \(C\) apropriada, em que \[ g(x, y) = x^2 y^3 \sin(xy) \cos(\sqrt{xy}\,) \exp(x^2 + y). \] (a) Explique por que \[ E(X) = \int_0^1 \!\! \int_0^1 x\, f_{X,Y}(x, y)\, dx\, dy = \frac{\int_0^1 \int_0^1 x\, g(x, y)\, dx\, dy} {\int_0^1 \int_0^1 g(x, y)\, dx\, dy}. \](b) Descreva um algoritmo de Monte Carlo para calcular aproximadamente \(E(X)\).

4.5.12 Seja \(g(x, y) = \cos(\sqrt{xy}\,)\), e considere a integral \(I = \int_0^5 \int_0^4 g(x, y)\, dy\, dx\). (a) Prove que \(I = 20\, E[g(X, Y)]\), em que \(X \sim \text{Uniforme}[0, 5]\) e \(Y \sim \text{Uniforme}[0, 4]\).(b) Use o item (a) para descrever um algoritmo de Monte Carlo para calcular aproximadamente \(I\).

4.5.13 Considere a integral \(J = \int_0^1 \int_0^{\infty} h(x, y)\, dy\, dx\), em que \[ h(x, y) = e^{-y^2} \cos(\sqrt{xy}\,). \] (a) Prove que \(J = E[e^Y h(X, Y)]\), em que \(X \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e \(Y \sim \text{Exponencial}(1)\).(b) Use o item (a) para descrever um algoritmo de Monte Carlo para calcular aproximadamente \(J\).(c) Se \(X \sim \text{Uniforme}[0, 1]\) e \(Y \sim \text{Exponencial}(5)\), prove que \[ J = (1/5)\, E[e^{5Y} h(X, Y)]. \](d) Use o item (c) para descrever um algoritmo de Monte Carlo para calcular aproximadamente \(J\).(e) Explique como você poderia usar um computador para determinar qual é melhor: o algoritmo do item (b) ou o algoritmo do item (d).

Exercícios computacionais

4.5.14 Use um algoritmo de Monte Carlo para aproximar \(\int_0^1 \cos(x^3) \sin(x^4)\, dx\) com base numa amostra grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Avalie o erro da aproximação.

4.5.15 Use um algoritmo de Monte Carlo para aproximar \(\int_0^{\infty} 25 \cos(x^4) e^{-25x}\, dx\) com base numa amostra grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Avalie o erro da aproximação.

4.5.16 Use um algoritmo de Monte Carlo para aproximar \(\sum_{j=0}^{\infty} (j^2 + 3)^{-5} 5^{-j}\) com base numa amostra grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Avalie o erro da aproximação.

4.5.17 Suponha que \(X \sim N(0, 1)\). Use um algoritmo de Monte Carlo para aproximar \(P(X^2 - 3X + 2 \ge 0)\) com base numa amostra grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Avalie o erro da aproximação.

Problemas

4.5.18 Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) são i.i.d. Bernoulli\((\theta)\), em que \(\theta\) é desconhecido. Determine uma cota inferior⁵¹ para \(n\) tal que a probabilidade de a estimativa \(M_n\) estar a menos de \(\delta\) do valor desconhecido de \(\theta\) seja de cerca de \(0{,}9974\). Isso nos permite fazer simulações com alta confiança de que o erro da aproximação apresentada é menor que algum valor \(\delta\) prescrito. (Sugestão: use o fato de que \(x(1 - x) \le 1/4\) para todo \(x \in [0, 1]\).)

4.5.19 Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) são i.i.d. com média \(\mu\) desconhecida e variância \(\sigma^2\) desconhecida. Suponha, porém, que sabemos que \(\sigma^2 \le \sigma_0^2\), em que \(\sigma_0^2\) é um valor conhecido. Determine uma cota inferior para \(n\) tal que a probabilidade de a estimativa \(M_n\) estar a menos de \(\delta\) do valor desconhecido de \(\mu\) seja de cerca de \(0{,}9974\). Isso nos permite fazer simulações com alta confiança de que o erro da aproximação apresentada é menor que algum valor \(\delta\) prescrito.

4.5.20 Suponha que \(X_1, X_2, \ldots\) são i.i.d. com distribuição Uniforme\([0, \theta]\), em que \(\theta\) é desconhecido, e considere \(Z_n = n^{-1}(n + 1) X_{(n)}\) como uma estimativa de \(\theta\) (veja a Seção 2.8.4 sobre estatísticas de ordem⁵²). (a) Prove que \(E(Z_n) = \theta\) e calcule \(\Var(Z_n)\).(b) Use a desigualdade de Chebyshev para mostrar que \(Z_n\) converge em probabilidade para \(\theta\).(c) Mostre que \(E(2M_n) = \theta\) e compare \(M_n\) e \(Z_n\) quanto à sua eficiência como estimadores de \(\theta\). Qual deles você usaria para estimar \(\theta\), e por quê?

4.5.21 (Amostragem por importância⁵³) Suponha que queremos aproximar a integral \(\int_a^b g(x)\, dx\), em que supomos que essa integral é finita. Seja \(f\) uma densidade no intervalo \((a, b)\) tal que \(f(x) > 0\) para todo \(x \in (a, b)\) e tal que temos um algoritmo conveniente para gerar \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. com distribuição dada por \(f\). (a) Prove que \[ M_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{g(X_i)}{f(X_i)} \xrightarrow{\text{q.c.}} \int_a^b g(x)\, dx. \] (Chamamos \(f\) de amostrador por importância⁵⁴ e notamos que isso mostra que toda \(f\) que satisfaz as condições acima fornece um estimador consistente⁵⁵ \(M_n(f)\) de \(\int_a^b g(x)\, dx\).)(b) Prove que \[ \Var(M_n(f)) = \frac{1}{n} \left\{ \int_a^b \frac{g^2(x)}{f(x)}\, dx - \left( \int_a^b g(x)\, dx \right)^{2} \right\}. \](c) Suponha que \(g(x) = h(x) f(x)\), em que \(f\) é como descrita acima. Mostre que a amostragem por importância com relação a \(f\) leva ao estimador \[ M_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} h(X_i). \](d) Mostre que, se existe \(c\) tal que \(\lvert g(x) \rvert \le c f(x)\) para todo \(x \in (a, b)\), então \(\Var(M_n(f)) < \infty\).(e) Determine o erro padrão de \(M_n(f)\) e indique como você o usaria para avaliar o erro da aproximação \(M_n(f)\) quando \(\Var(M_n(f)) < \infty\).

Problemas computacionais

4.5.22 Use um algoritmo de Monte Carlo para aproximar \(P(X^3 + Y^3 \le 3)\), em que \(X \sim N(1, 2)\) é independente de \(Y \sim \text{Gama}(1, 1)\), com base numa amostra grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Avalie o erro da aproximação. Quão grande \(n\) precisa ser para garantir que a estimativa esteja a menos de \(0{,}01\) do valor verdadeiro praticamente com certeza? (Sugestão: Problema 4.5.18.)

4.5.23 Use um algoritmo de Monte Carlo para aproximar \(E(X^3 + Y^3)\), em que \(X \sim N(1, 2)\) é independente de \(Y \sim \text{Gama}(1, 1)\), com base numa amostra grande (tome \(n = 10^5\), se possível). Avalie o erro da aproximação.

4.5.24 Para a integral do Exercício 4.5.3, compare a eficiência do algoritmo baseado na geração de valores de uma distribuição Exponencial\((5)\) com a do algoritmo baseado na geração de valores de uma distribuição \(N(0, 1/7)\).

Desafios

4.5.25 (Agulha de Buffon) Suponha que você deixa cair uma agulha ao acaso sobre uma grande folha de papel pautado. Suponha que a distância entre as linhas é exatamente igual ao comprimento da agulha. (a) Prove que a probabilidade de a agulha cair tocando uma linha é igual a \(2/\pi\). (Sugestão: seja \(D\) a distância da extremidade mais alta da agulha até a linha logo abaixo dela, e seja \(A\) o ângulo que a agulha forma com essa linha. Quais são, então, as distribuições de \(D\) e de \(A\)? Sob que condições sobre \(D\) e \(A\) a agulha estará tocando uma linha?)(b) Explique como esse experimento poderia ser usado para obter uma aproximação de Monte Carlo do valor de \(\pi\).

4.5.26 (Amostragem por importância ótima) Considere a amostragem por importância como descrita no Problema 4.5.21. (a) Prove que \(\Var(M_n(f))\) é minimizada tomando \[ f(x) = \lvert g(x) \rvert \Big/ \int_a^b \lvert g(x) \rvert\, dx. \] Calcule a variância mínima e mostre que ela é 0 quando \(g(x) \ge 0\) para todo \(x \in (a, b)\).(b) Por que esse amostrador por importância ótimo em geral não é viável? (O amostrador por importância ótimo indica, porém, que, na busca por um amostrador por importância eficiente, procuramos uma \(f\) que seja grande quando \(\lvert g \rvert\) é grande e pequena quando \(\lvert g \rvert\) é pequeno.)

Tópicos para discussão

4.5.27 Uma integral como \(\int_0^{\infty} x^2 \cos(x^2) e^{-x}\, dx\) pode ser calculada aproximadamente com um pacote de computador de integração numérica (por exemplo, usando a regra de Simpson). Quais são algumas vantagens e desvantagens de usar uma aproximação de Monte Carlo em vez de um pacote de integração numérica?

4.5.28 Realize o experimento de Monte Carlo da agulha de Buffon, descrito no Desafio 4.5.25, repetindo o experimento pelo menos 20 vezes. Apresente a estimativa de \(\pi\) assim obtida. Quão próxima ela está do valor verdadeiro de \(\pi\)? O que poderia ser feito para tornar a estimativa mais precisa?

4.6 Teoria da Distribuição Normal

Por causa do teorema central do limite (Teorema 4.4.3), a distribuição normal tem um papel extremamente importante na teoria estatística. Por isso, vamos considerar várias propriedades e distribuições importantes relacionadas à distribuição normal. Essas propriedades e distribuições serão muito importantes para a teoria estatística dos capítulos seguintes deste livro.

Já sabemos que, se \(X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\) é independente de \(X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\), então \(cX_1 + d \sim N(c\mu_1 + d, c^2\sigma^2)\) (veja o Exercício 2.6.3)⁵⁶ e \(X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2,\ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\) (veja o Problema 2.9.14). Combinando esses fatos e usando indução, obtemos o resultado a seguir.

Isso implica imediatamente o seguinte.

Uma propriedade mais sutil das distribuições normais é a seguinte.

O Teorema 4.6.2 diz que, no caso particular de combinações lineares de distribuições normais independentes, se \(\Cov(U, V) = 0\), então \(U\) e \(V\) são independentes. No entanto, é importante lembrar que essa propriedade não vale em geral: existem variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) tais que \(\Cov(X, Y) = 0\) mesmo que \(X\) e \(Y\) não sejam independentes (veja o Exemplo 3.3.10). Além disso, essa propriedade não vale nem mesmo para distribuições normais em geral (veja o Problema 4.6.13).

Observe que, usando álgebra linear, podemos escrever as equações \(U = \sum_{i=1}^n a_i X_i\) e \(V = \sum_{i=1}^n b_i X_i\) do Teorema 4.6.2 na forma matricial \begin{equation} \begin{pmatrix} U \\ V \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix}, \tag{4.6.1} \end{equation} em que \[ A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \end{pmatrix}. \] Além disso, as linhas de \(A\) são ortogonais se e somente se \(\sum_i a_i b_i = 0\). Ora, no caso em que \(\sigma_i = 1\) para todo \(i\), temos \(\Cov(U, V) = \sum_i a_i b_i\). Portanto, se \(\sigma_i = 1\) para todo \(i\), o Teorema 4.6.2 pode ser interpretado assim: se \(U\) e \(V\) são dados por (4.6.1), então \(U\) e \(V\) são independentes se e somente se as linhas de \(A\) são ortogonais. A álgebra linear é muito usada em tratamentos mais avançados dessas ideias.

4.6.1 A Distribuição Qui-quadrado

Apresentamos agora outra distribuição, relacionada à distribuição normal.

A maioria dos pacotes estatísticos tem rotinas prontas para calcular probabilidades da qui-quadrado (veja também a Tabela D.3 do Apêndice D).

Uma propriedade da distribuição qui-quadrado é fácil.

A função densidade da distribuição qui-quadrado é um pouco mais difícil de obter. Começamos pelo caso \(n = 1\).

Na Figura 4.6.1, traçamos o gráfico da densidade \(\chi^2(1)\). Observe que a densidade se torna infinita em 0.

Observe que a densidade \(\chi^2(2)\) é igual à densidade Exponencial\((2)\).⁶¹ Na Figura 4.6.2, traçamos os gráficos de várias densidades \(\chi^2\). Observe que as \(\chi^2\) são assimétricas, com cauda longa à direita. À medida que os graus de liberdade aumentam, a massa central de probabilidade se desloca para a direita.

Uma aplicação da distribuição qui-quadrado é a seguinte.

Como a distribuição \(\chi^2(n - 1)\) tem média \(n - 1\), obtemos o seguinte.

O Teorema 4.6.6 será muito usado no Capítulo 6. Por exemplo, esse resultado, junto com o Corolário 4.6.1, nos dá a distribuição amostral conjunta da média amostral \(\bar X\) e da variância amostral \(S^2\) quando amostramos de uma distribuição \(N(\mu, \sigma^2)\). Se não conhecemos \(\mu\), então \(\bar X\) é um estimador natural dessa quantidade e, do mesmo modo, \(S^2\) é um estimador natural de \(\sigma^2\) quando ela é desconhecida. Curiosamente, dividimos por \(n - 1\) em \(S^2\), e não por \(n\), justamente porque queremos que \(E(S^2) = \sigma^2\), como no Corolário 4.6.2. Na verdade, essa propriedade não depende de amostrarmos de uma distribuição normal. Pode-se mostrar que, sempre que \(X_1, \ldots, X_n\) é uma amostra de uma distribuição com variância \(\sigma^2\), temos \(E(S^2) = \sigma^2\).

4.6.2 A Distribuição \(t\)

A distribuição \(t\) também tem muitas aplicações estatísticas.

A maioria dos pacotes estatísticos tem rotinas prontas para calcular probabilidades da \(t(n)\) (veja também a Tabela D.4 do Apêndice D).

A densidade da distribuição \(t(n)\) é dada pelo resultado a seguir.

O resultado a seguir mostra que, quando \(n\) é grande, a distribuição \(t(n)\) é muito parecida com a distribuição \(N(0, 1)\).

Na Figura 4.6.3, traçamos os gráficos de várias densidades \(t\). Observe que as densidades das distribuições \(t\) são simétricas em torno de 0 e parecidas com a densidade normal padrão.

A distribuição \(t(n)\) tem caudas mais longas que a distribuição \(N(0, 1)\). Por exemplo, a distribuição \(t(1)\) (também conhecida como distribuição de Cauchy⁶²) tem \(0{,}9366\) de sua probabilidade no intervalo \((-10, 10)\), ao passo que a distribuição \(N(0, 1)\) tem ali toda a sua probabilidade (pelo menos até a quarta casa decimal). As densidades \(t(30)\) e \(N(0, 1)\) são muito parecidas.

4.6.3 A Distribuição \(F\)

Por fim, consideramos a distribuição \(F\).

A maioria dos pacotes estatísticos tem rotinas prontas para calcular probabilidades da \(F(m, n)\) (veja também a Tabela D.5 do Apêndice D).

A densidade da distribuição \(F(m, n)\) é dada pelo resultado a seguir.

Na Figura 4.6.4, traçamos os gráficos de várias densidades \(F(m, n)\). Observe que essas densidades são assimétricas, com cauda longa à direita.

Os resultados a seguir são úteis quando é preciso fazer contas com a distribuição \(F(m, n)\).

Portanto, se \(Z \sim F(m, n)\), então \(P(Z \le z) = P(1/Z \ge 1/z)\) \({}= 1 - P(1/Z \le 1/z)\), e \(P(1/Z \le 1/z)\) é a fda da distribuição \(F(n, m)\) calculada em \(1/z\).

Em muitas aplicações estatísticas, \(n\) pode ser muito grande. O resultado a seguir dá, então, uma aproximação útil para esse caso.

Por fim, as Definições 4.6.2 e 4.6.3 dão imediatamente o resultado a seguir.

Exercícios

4.6.1 Sejam \(X_1 \sim N(3, 2^2)\) e \(X_2 \sim N(-8, 5^2)\) independentes. Sejam \(U = X_1 - 5X_2\) e \(V = -6X_1 + CX_2\), em que \(C\) é uma constante. (a) Quais são as distribuições de \(U\) e \(V\)?(b) Que valor de \(C\) torna \(U\) e \(V\) independentes?

4.6.2 Sejam \(X \sim N(3, 5)\) e \(Y \sim N(-7, 2)\) independentes. (a) Qual é a distribuição de \(Z = 4X - Y/3\)?(b) Qual é a covariância de \(X\) e \(Z\)?

4.6.3 Sejam \(X \sim N(3, 5)\) e \(Y \sim N(-7, 2)\) independentes. Encontre valores de \(C_1 \ne 0\), \(C_2\), \(C_3 \ne 0\), \(C_4\), \(C_5\) tais que \(C_1(X + C_2)^2\) \({}+ C_3(Y + C_4)^2 \sim \chi^2(C_5)\).

4.6.4 Sejam \(X \sim \chi^2(n)\) e \(Y \sim N(0, 1)\) independentes. Prove que \(X + Y^2 \sim \chi^2(n + 1)\).

4.6.5 Sejam \(X \sim \chi^2(n)\) e \(Y \sim \chi^2(m)\) independentes. Prove que \(X + Y \sim \chi^2(n + m)\).

4.6.6 Sejam \(X_1, X_2, \ldots, X_{4n}\) i.i.d. com distribuição \(N(0, 1)\). Encontre um valor de \(C\) tal que \[ C\, \frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}{X_{n+1}^2 + X_{n+2}^2 + \cdots + X_{4n}^2} \sim F(n, 3n). \]

4.6.7 Sejam \(X_1, X_2, \ldots, X_{n+1}\) i.i.d. com distribuição \(N(0, 1)\). Encontre um valor de \(C\) tal que \[ C\, \frac{X_1}{\sqrt{X_2^2 + \cdots + X_n^2 + X_{n+1}^2}} \sim t(n). \]

4.6.8 Sejam \(X \sim N(3, 5)\) e \(Y \sim N(-7, 2)\) independentes. Encontre valores de \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), \(C_4\), \(C_5\), \(C_6\) tais que \[ \frac{C_1(X + C_2)^{C_3}}{((Y + C_4)^2)^{C_5}} \sim t(C_6). \]

4.6.9 Sejam \(X \sim N(3, 5)\) e \(Y \sim N(-7, 2)\) independentes. Encontre valores de \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), \(C_4\), \(C_5\), \(C_6\), \(C_7\) tais que \[ \frac{C_1(X + C_2)^{C_3}}{(Y + C_4)^{C_5}} \sim F(C_6, C_7). \]

4.6.10 Sejam \(X_1, X_2, \ldots, X_{100}\) independentes, cada uma com a distribuição normal padrão. (a) Calcule a distribuição de \(X_1^2\).(b) Calcule a distribuição de \(X_3^2 + X_5^2\).(c) Calcule a distribuição de \(X_{10}\big/\sqrt{[X_{20}^2 + X_{30}^2 + X_{40}^2]/3}\).(d) Calcule a distribuição de \(3X_{10}^2 \big/ [X_{20}^2\) \({}+ X_{30}^2 + X_{40}^2]\).(e) Calcule a distribuição de \[ \frac{30}{70}\, \frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{70}^2}{X_{71}^2 + X_{72}^2 + \cdots + X_{100}^2}. \]

4.6.11 Sejam \(X_1, X_2, \ldots, X_{61}\) independentes, cada uma com distribuição \(N(\mu, \sigma^2)\). Tome \(\bar X = (1/61)(X_1 + X_2 + \cdots + X_{61})\) e \[ S^2 = \frac{1}{60}\Bigl[(X_1 - \bar X)^2 + (X_2 - \bar X)^2 + \cdots + (X_{61} - \bar X)^2\Bigr] \] como de costume. (a) Para que valores de \(K\) e \(m\) a quantidade \(Y \equiv K(\bar X - \mu)/\sqrt{S^2}\) tem distribuição \(t\) com \(m\) graus de liberdade?(b) Com \(K\) como no item (a), encontre \(y\) tal que \(P(Y \ge y) = 0{,}05\).(c) Para que valores de \(a\), \(b\) e \(c\) a quantidade \(W \equiv a(\bar X - \mu)^2/S^2\) tem distribuição \(F\) com \(b\) e \(c\) graus de liberdade?(d) Para esses valores de \(a\), \(b\) e \(c\), encontre uma quantidade \(w\) tal que \(P(W \ge w) = 0{,}05\).

4.6.12 Suponha que a temperatura interna (em graus Celsius, sob uso intenso) do mais recente computador de mesa da Dell tenha distribuição normal com média 40 e desvio padrão 5, enquanto a do mais recente Compaq tem distribuição normal com média 45 e desvio padrão 8. Suponha que medimos a temperatura do Dell 20 vezes (em dias diferentes) e obtemos as medidas \(D_1, D_2, \ldots, D_{20}\), e que medimos também a temperatura do Compaq 30 vezes e obtemos as medidas \(C_1, C_2, \ldots, C_{30}\). (a) Calcule a distribuição de \(\bar D \equiv (D_1 + \cdots + D_{20})/20\).(b) Calcule a distribuição de \(\bar C \equiv (C_1 + \cdots + C_{30})/30\).(c) Calcule a distribuição de \(Z \equiv \bar C - \bar D\).(d) Calcule \(P(\bar C < \bar D)\).(e) Seja \(U = (D_1 - \bar D)^2\) \({}+ (D_2 - \bar D)^2\) \({}+ \cdots + (D_{20} - \bar D)^2\). Quanto vale \(P(U > 633{,}25)\)?

Problemas

4.6.13 Seja \(X \sim N(0, 1)\) e seja \(P(Y = 1) = P(Y = -1) = 1/2\). Suponha que \(X\) e \(Y\) sejam independentes. Seja \(Z = XY\). (a) Prove que \(Z \sim N(0, 1)\).(b) Prove que \(\Cov(X, Z) = 0\).(c) Prove diretamente que \(X\) e \(Z\) não são independentes.(d) Por que isso não contradiz o Teorema 4.6.2?

4.6.14 Seja \(Z \sim t(n)\). Prove que \(P(Z < -x) = P(Z > x)\) para \(x \in R^1\), isto é, prove que a distribuição \(t(n)\) é simétrica em torno de 0.

4.6.15 Seja \(X_n \sim F(n, 2n)\) para \(n = 1, 2, 3, \ldots\). Prove que \(X_n \to 1\) em probabilidade e com probabilidade 1.

4.6.16 (A distribuição qui-quadrado geral) Prove que, para \(\alpha > 0\), a função \[ f(z) = \frac{1}{2^{\alpha/2}\Gamma(\alpha/2)}\, z^{(\alpha/2)-1} e^{-z/2} \] define uma distribuição de probabilidade em \((0, \infty)\). Essa distribuição é conhecida como distribuição \(\chi^2(\alpha)\), isto é, ela generaliza a distribuição da Seção 4.6.2⁶⁴ ao permitir que o número de graus de liberdade seja um número real positivo qualquer. (Sugestão: a distribuição \(\chi^2(\alpha)\) é igual a uma distribuição \(\text{Gama}(\alpha/2, 1/2)\).)

4.6.17 (MV) (A distribuição \(t\) geral) Prove que, para \(\alpha > 0\), a função \[ f(u) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{\alpha+1}{2}\bigr)}{\sqrt{\pi}\, \Gamma\bigl(\frac{\alpha}{2}\bigr)} \Bigl(1 + \frac{u^2}{\alpha}\Bigr)^{-(\alpha+1)/2} \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \] define uma distribuição de probabilidade em \((-\infty, \infty)\), mostrando que a variável aleatória \[ U = \frac{X}{\sqrt{Y/\alpha}} \] tem essa densidade quando \(X \sim N(0, 1)\) é independente de \(Y \sim \chi^2(\alpha)\), como no Problema 4.6.16. Essa distribuição é conhecida como distribuição \(t(\alpha)\), isto é, ela generaliza a distribuição da Seção 4.6.3⁶⁵ ao permitir que o número de graus de liberdade seja um número real positivo qualquer. (Sugestão: a demonstração é praticamente idêntica à do Teorema 4.6.7.)

4.6.18 (MV) (A distribuição \(F\) geral) Prove que, para \(\alpha > 0\), \(\beta > 0\), a função \[ f(u) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{\alpha}{2}\bigr) \Gamma\bigl(\frac{\beta}{2}\bigr)} \Bigl(\frac{\alpha}{\beta} u\Bigr)^{(\alpha/2)-1} \Bigl(1 + \frac{\alpha}{\beta} u\Bigr)^{-(\alpha+\beta)/2} \frac{\alpha}{\beta} \] define uma distribuição de probabilidade em \((0, \infty)\), mostrando que a variável aleatória \[ U = \frac{X/\alpha}{Y/\beta} \] tem essa densidade sempre que \(X \sim \chi^2(\alpha)\) é independente de \(Y \sim \chi^2(\beta)\), como no Problema 4.6.16. Essa distribuição é conhecida como distribuição \(F(\alpha, \beta)\), isto é, ela generaliza a distribuição da Seção 4.6.4⁶⁶ ao permitir que os graus de liberdade do numerador e do denominador sejam números reais positivos quaisquer. (Sugestão: a demonstração é praticamente idêntica à do Teorema 4.6.9.)

4.6.19 Prove que, quando \(X \sim t(\alpha)\), como definida no Problema 4.6.17, e \(\alpha > 1\), então \(E(X) = 0\). Prove ainda que, quando \(\alpha > 2\), \(\Var(X) = \alpha/(\alpha - 2)\). Você pode supor que essas integrais existem — veja o Desafio 4.6.21. (Sugestão: para calcular o segundo momento, use \(Y = X^2 \sim F(1, \alpha)\), como definida no Problema 4.6.18.)

4.6.20 Prove que, quando \(X \sim F(\alpha, \beta)\), então \(E(X) = \beta/(\beta - 2)\) quando \(\beta > 2\) e \(\Var(X) = 2\beta^2(\alpha + \beta - 2)/\alpha(\beta - 2)^2(\beta - 4)\) quando \(\beta > 4\).

Desafios

4.6.21 Seguindo o Problema 4.6.19, prove que a média de \(X\) não existe sempre que \(0 < \alpha \le 1\). Prove ainda que a variância de \(X\) não existe sempre que \(0 < \alpha \le 1\) e é infinita quando \(1 < \alpha \le 2\).

4.6.22 Prove a identidade (4.7.1) da Seção 4.7, que aparece como parte da demonstração do Teorema 4.6.6.

4.7 Demonstrações Adicionais (Avançado)