Prefácio

Este livro é um texto introdutório de probabilidade e estatística, voltado para estudantes que cursaram um ano de cálculo na universidade e procuram uma introdução à probabilidade e à estatística com conteúdo matemático. Sempre que possível, apresentamos os detalhes matemáticos, e espera-se que os estudantes queiram adquirir algum domínio sobre eles, além de aprender a conduzir análises de dados. Todas as metodologias habituais de um curso introdutório típico são apresentadas, assim como parte da teoria que as justifica.

O texto pode ser usado com ou sem um pacote estatístico de computador. Na nossa opinião, os estudantes devem perceber a importância de várias técnicas computacionais nas aplicações, e o livro procura mostrar isso. Por isso, achamos que os aspectos computacionais do assunto, como o método de Monte Carlo, devem ser abordados, mesmo que não se use um pacote estatístico. Quase qualquer pacote estatístico serve. O apêndice Cálculos traz uma introdução à linguagem R. Ele cobre todos os aspectos da linguagem necessários para fazer as contas do texto. Além disso, fornecemos o código R de todas as contas mais complicadas. Os estudantes podem usar esses exemplos como modelo para problemas que envolvam esse tipo de conta, por exemplo, com amostragem de Gibbs¹. Também fornecemos, numa seção à parte desse apêndice, código do Minitab para as contas um pouco mais trabalhosas, por exemplo, a amostragem de Gibbs. Não é preciso ter experiência com programação para resolver os problemas.

Organizamos os exercícios do livro em grupos, para ajudar quem o usa. Os Exercícios servem para todos os estudantes e oferecem prática na aplicação dos conceitos discutidos numa seção. Os Problemas exigem uma compreensão maior, e o estudante pode esperar passar mais tempo pensando neles. Se um problema estiver marcado com (MV), ele vai exigir alguma familiaridade com cálculo de várias variáveis além do primeiro curso de cálculo, embora esses problemas não sejam necessariamente difíceis. Os Desafios são problemas que a maioria dos estudantes vai achar difíceis; são só para os estudantes que não têm dificuldade com os Exercícios e os Problemas. Há também Exercícios computacionais e Problemas computacionais, nos quais se espera que os estudantes usem um pacote estatístico para chegar às soluções.

Incluímos vários Tópicos para discussão, pensados para estimular o pensamento crítico dos estudantes. Ao longo de todo o livro, procuramos levar os estudantes além do domínio das técnicas, para que pensem no assunto num quadro de referência mais amplo. É importante que os estudantes adquiram uma base matemática sólida nas técnicas básicas de probabilidade e estatística, e acreditamos que este livro os ajudará a conseguir isso. Em última análise, porém, essas disciplinas são aplicadas em contextos do mundo real, e por isso é igualmente importante que os estudantes entendam como aplicá-las e quais questões surgem. Muitas vezes, os Tópicos para discussão não têm resposta certa; o objetivo deles é fazer o estudante pensar sobre o assunto. Se fossem usados para avaliação, seriam respondidos em forma de dissertação e corrigidos pela maturidade que o estudante mostrasse em relação às questões envolvidas. Os Tópicos para discussão provavelmente são mais adequados a turmas menores, mas também vão beneficiar os estudantes que simplesmente os lerem e refletirem sobre a relevância deles.

Algumas seções do livro estão marcadas como Avançado. Esse material é voltado a estudantes com mais maturidade matemática (por exemplo, que estejam cursando, ou já tenham cursado, uma segunda disciplina de cálculo). Todo o material Avançado pode ser omitido, sem perda de continuidade, pelo professor que assim desejar. Em particular, o último capítulo do texto está marcado como Avançado e só seria dado num curso introdutório de nível alto, voltado a especialistas. Além disso, muitas demonstrações aparecem na última seção de muitos capítulos, intitulada Demonstrações Adicionais (Avançado). O professor pode escolher quais dessas demonstrações (se alguma) deseja apresentar aos seus alunos.

Assim, achamos que o material do texto é apresentado de forma flexível, o que permite ao professor encontrar um nível adequado para os estudantes a quem ensina. Um apêndice de Fundamentos Matemáticos revisa alguns conceitos matemáticos de um primeiro curso de cálculo, caso os estudantes precisem relembrá-los, e traz também breves introduções a derivadas parciais, integrais duplas etc.

O Capítulo 1 apresenta o modelo de probabilidade² e motiva o estudo da probabilidade. São desenvolvidas as propriedades básicas de uma medida de probabilidade³.

O Capítulo 2 trata de distribuições discretas, contínuas e conjuntas, e dos efeitos de uma mudança de variável⁴. Também introduz o tema da simulação a partir de uma distribuição de probabilidade. A mudança de variável multivariada é desenvolvida numa seção Avançada.

O Capítulo 3 introduz a esperança⁵. São discutidos a função geradora⁶ de probabilidade, os momentos e a função geradora de momentos⁷ de uma variável aleatória⁸. Este capítulo desenvolve algumas das principais desigualdades usadas em probabilidade. Uma seção sobre funções características está incluída como tópico Avançado.

O Capítulo 4 trata de distribuições amostrais e limites. Convergência em probabilidade⁹, convergência com probabilidade 1¹⁰, as leis fraca e forte dos grandes números, convergência em distribuição¹¹ e o teorema central do limite¹² são todos apresentados, junto com diversas aplicações, como o método de Monte Carlo. A teoria da distribuição normal, necessária para muitas aplicações estatísticas, também é tratada aqui.

Como já dissemos, os Capítulos 1 a 4 incluem material sobre técnicas de Monte Carlo. A simulação é um aspecto fundamental da aplicação da teoria da probabilidade, e, na nossa visão, seu ensino deve estar integrado à teoria desde o começo. Isso revela o poder da probabilidade para resolver problemas do mundo real e ajuda a convencer os estudantes de que ela é muito mais do que apenas uma teoria matemática interessante. Nenhum profissional da área se afasta da teoria quando usa o computador para fazer contas, nem o contrário. Acreditamos que essa é uma forma mais moderna de ensinar o assunto. Esse material pode ser omitido, porém, se o professor pensar de outro modo ou achar que não há tempo suficiente para tratá-lo bem.

O Capítulo 5 é uma introdução à inferência estatística. Na maior parte, ele se ocupa de preparar o terreno para o desenvolvimento de uma metodologia mais formal nos capítulos seguintes. Por isso, questões práticas — como a coleta adequada de dados, a apresentação de dados por técnicas gráficas e métodos informais de inferência, como a estatística descritiva — são discutidas aqui.

O Capítulo 6 trata de muitos dos métodos padrão de inferência para problemas de uma amostra. A justificativa teórica desses métodos é desenvolvida principalmente por meio da função de verossimilhança¹³, mas o tratamento¹⁴ ainda é bastante informal. São apresentados métodos básicos de inferência, como o erro padrão¹⁵ de uma estimativa¹⁶, os intervalos de confiança e os valores-p. Há também uma seção dedicada a métodos livres de distribuição¹⁷ (não paramétricos), como o bootstrap¹⁸.

O Capítulo 7 aborda muitos dos mesmos problemas discutidos no Capítulo 6, mas agora de uma perspectiva bayesiana. O ponto de vista adotado aqui não é que os métodos bayesianos sejam melhores, nem, aliás, piores que os do Capítulo 6. Nossa visão é, antes, que os métodos bayesianos surgem naturalmente quando o estatístico acrescenta outro ingrediente — a distribuição a priori¹⁹ — ao modelo. A adequação dela, ou do modelo amostral²⁰ para os dados, é resolvida pelos métodos de verificação de modelos²¹ do Capítulo 9. Não é nossa intenção fazer os estudantes adotarem uma filosofia particular. Em vez disso, o texto apresenta aos estudantes um amplo espectro do pensamento estatístico.

Os capítulos seguintes tratam das abordagens frequentista e bayesiana dos diversos problemas discutidos. O material bayesiano está em seções claramente identificadas e pode ser omitido sem perda de continuidade, se assim se desejar. Nos últimos anos, porém, ficou claro que a metodologia bayesiana é amplamente usada nas aplicações. Por isso, achamos importante que os estudantes tenham contato com ela, assim como com as abordagens frequentistas, cedo na sua formação estatística.

O Capítulo 8 trata das justificativas tradicionais de otimalidade oferecidas para algumas inferências estatísticas. Em particular, são discutidos alguns aspectos da estimação²² não viesada ótima e o teorema de Neyman–Pearson. Há também uma breve introdução à teoria da decisão²³. Este capítulo é mais formal e matemático que os Capítulos 5, 6 e 7, e pode ser omitido, sem perda de continuidade, se o professor quiser dar ênfase a métodos e aplicações.

O Capítulo 9 trata da verificação de modelos. Pusemos a verificação de modelos num capítulo separado para ressaltar sua importância nas aplicações. Na prática, a verificação de modelos é o modo como os estatísticos justificam as escolhas que fazem ao selecionar os ingredientes de um problema estatístico. Embora essas escolhas sejam inerentemente subjetivas, os métodos deste capítulo fornecem verificações para garantir que as escolhas feitas sejam sensatas à luz dos dados observados objetivos.

O Capítulo 10 trata da análise estatística das relações entre variáveis. Ele inclui material sobre regressão linear simples e múltipla, ANOVA, planejamento de experimentos²⁴ e tabelas de contingência. A ênfase deste capítulo está nas aplicações.

O Capítulo 11 trata de processos estocásticos. Em particular, cadeias de Markov e Monte Carlo via cadeias de Markov são abordados neste capítulo, assim como o movimento browniano²⁵ e sua relevância em finanças. São apresentados tópicos bastante sofisticados, mas o tratamento é inteiramente elementar. O Capítulo 11 depende apenas do material dos Capítulos 1 a 4.

Um curso semestral de probabilidade cobriria os Capítulos 1–4 e talvez parte do Capítulo 11. Um curso semestral de estatística, na sequência, cobriria os Capítulos 5–7 e 9–10. O Capítulo 8 não é necessário, mas algumas partes, como a teoria da estimação não viesada e os testes ótimos, são adequadas a um curso mais teórico.

Um curso básico de dois semestres de probabilidade e estatística cobriria os Capítulos 1–6 e 9–10. Um curso assim abrange todos os temas tradicionais, inclusive a teoria básica da probabilidade, os conceitos básicos de inferência estatística e os temas habituais de estatística aplicada introdutória. Cobrir o livro inteiro levaria três semestres, que poderiam ser organizados de várias maneiras.

As seções Avançadas podem ser omitidas ou incluídas, conforme o nível dos estudantes, sem perda de continuidade. O mesmo vale para os Capítulos 7, 8 e 11.

Estudantes que já fizeram um curso introdutório de estatística aplicada sem cálculo também vão tirar proveito de um curso baseado neste texto. Embora os temas sejam parecidos, aqui eles são apresentados com mais profundidade e rigor. Por exemplo, Introduction to the Practice of Statistics, 6ª ed., de D. Moore e G. McCabe (W. H. Freeman, 2009), é um excelente texto, e acreditamos que o nosso livro serviria de base sólida para um curso de continuação.

Há um Manual de Soluções do Professor (Instructor's Solutions Manual) disponível na editora.

A segunda edição contém muito mais exercícios básicos que a primeira. Além disso, reescrevemos várias seções, com o objetivo de deixar o material mais claro para os estudantes. Uma das metas da reescrita foi dividir o material em partes menores e mais fáceis de digerir, para que as ideias principais se destaquem com mais nitidez. Houve também uma reformulação tipográfica completa que, a nosso ver, também ajuda nisso. Nos apêndices, acrescentamos material sobre o pacote estatístico R, além das respostas dos exercícios ímpares, que os estudantes podem usar para conferir sua compreensão.

Muito obrigado aos revisores e usuários pelos seus comentários: Abbas Alhakim (Clarkson University), Michelle Baillargeon (McMaster University), Arne C. Bathke (University of Kentucky), Lisa A. Bloomer (Middle Tennessee State University), Christopher Brown (California Lutheran University), Jem N. Corcoran (University of Colorado), Guang Cheng (Purdue University), Yi Cheng (Indiana University South Bend), Eugene Demidenko (Dartmouth College), Robert P. Dobrow (Carleton College), John Ferdinands (Calvin College), Soledad A. Fernandez (The Ohio State University), Paramjit Gill (University of British Columbia Okanagan), Marvin Glover (Milligan College), Ellen Gundlach (Purdue University), Paul Gustafson (University of British Columbia), Jan Hannig (Colorado State University), Solomon W. Harrar (The University of Montana), Susan Herring (Sonoma State University), George F. Hilton (Pacific Union College), Chun Jin (Central Connecticut State University), Paul Joyce (University of Idaho), Hubert Lilliefors (George Washington University), Andy R. Magid (University of Oklahoma), Phil McDonnough (University of Toronto), Julia Morton (Nipissing University), Jean D. Opsomer (Colorado State University), Randall H. Rieger (West Chester University), Robert L. Schaefer (Miami University), Osnat Stramer (University of Iowa), Tim B. Swartz (Simon Fraser University), Glen Takahara (Queen's University), Robert D. Thompson (Hunter College), David C. Vaughan (Wilfrid Laurier University), Joseph J. Walker (Georgia State University), Chad Westerland (University of Arizona), Dongfeng Wu (Mississippi State University), Yuehua Wu (York University), Nicholas Zaino (University of Rochester). Em particular, o professor Chris Andrews (State University of New York) forneceu muitas correções à primeira edição.

Os autores também agradecem a muitas pessoas que ajudaram no desenvolvimento deste projeto. Em particular, nossos colegas e alunos da University of Toronto nos apoiaram muito. Ping Gao, Aysha Hashim, Gun Ho Jang, Hadas Moshonov e Mahinda Samarakoon ajudaram de muitas formas. Vários dos conjuntos de dados do Capítulo 10 são usados há muitos anos em disciplinas da University of Toronto e foram, acreditamos, compilados pelo trabalho do falecido professor Daniel B. DeLury. O professor David Moore, da Purdue University, ajudou fornecendo várias das tabelas do fim do livro. Patrick Farace, Anne Scanlan-Rohrer, Chris Spavins, Danielle Swearengin, Brian Tedesco, Vivien Weiss e Katrina Wilhelm, da W. H. Freeman, deram muito apoio e incentivo. Nossas famílias nos ajudaram com sua paciência e carinho enquanto trabalhávamos no que às vezes parecia uma tarefa sem fim; muito obrigado a Rosemary e Heather Evans e a Margaret Fulford.

Michael Evans e Jeffrey Rosenthal
Toronto, 2009

Há vários anos deixamos o livro disponível gratuitamente na web. Esta versão corrige uma série de problemas apontados pelos usuários. Somos gratos a todos que nos chamaram a atenção para eles (veja a página antiga na web para os agradecimentos individuais) e continuaremos a fazer correções à medida que formos informados.

Michael Evans e Jeffrey Rosenthal
Toronto, 2023