Apêndice ERespostas dos Exercícios Ímpares

As respostas são dadas aqui para os exercícios ímpares que pedem uma conta. Os detalhes das contas não são apresentados. Se o exercício pedia que se demonstrasse algo, é dada uma sugestão significativa.

Capítulo 1

1.2.1 (a) \(P(\{1, 2\}) = 5/6\)(b) \(P(\{1, 2, 3\}) = 1\)(c) \(P(\{1\}) = P(\{2, 3\}) = 1/2\)

1.2.3 \(P(\{2\}) = 1/6\)

1.2.5 \(P(\{s\}) = 0\) para todo \(s \in [0, 1]\)

1.2.7 É o subconjunto \((A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)\).

1.2.9 \(P(\{1\}) = 1/12\), \(P(\{2\}) = 1/12\), \(P(\{3\}) = 1/6\), \(P(\{4\}) = 2/3\)

1.2.11 \(P(\{2\}) = 5/24\), \(P(\{1\}) = 3/8\), \(P(\{3\}) = 5/12\)

1.3.1 (a) \(P(\{2, 3, 4, \ldots, 100\}) = 0{,}9\)(b) \(0{,}1\)

1.3.3 \(P(\text{atrasado ou mais cedo ou ambos})\) \({}= 25\%\)

1.3.5 (a) \(1/32 = 0{,}03125\).(b) \(0{,}96875\)

1.3.7 \(10\%\)

1.4.1 (a) \((1/6)^8 = 1/1.679.616\)(b) \((1/6)^7 = 1/279.936\)(c) \(8\,(1/6)^8 = 1/209.952\)

1.4.3 \(1 - 5051/2^{100}\)

1.4.5 (a) \(\binom{4}{1}\binom{13}{13}\binom{39}{13\ 13\ 13} \Big/ \binom{52}{13\ 13\ 13\ 13}\)(b) \(\binom{4}{1}\binom{4}{4}\binom{48}{9}\binom{39}{13\ 13\ 13} \Big/ \binom{52}{13\ 13\ 13\ 13}\)

1.4.7 \(\binom{48}{10} \Big/ \binom{52}{10}\) \({}= 246/595 = 0{,}4134\)

1.4.9 \((5/6)^2(1/6) = 25/216\)

1.4.11 \(\left(\binom{5}{3} \Big/ \binom{12}{3}\right)\left(\binom{6}{3} \Big/ \binom{18}{3}\right)\) \({}+ \left(\binom{7}{3} \Big/ \binom{12}{3}\right)\left(\binom{12}{3} \Big/ \binom{18}{3}\right)\)

1.4.13 \(\binom{2}{1}\frac{1}{2^2} \cdot \binom{3}{2}\frac{1}{2^3} \cdot \binom{4}{2}\frac{1}{2^4}\) \({}+ \binom{2}{1}\frac{1}{2^2} \cdot \binom{3}{0}\frac{1}{2^3} \cdot \binom{4}{3}\frac{1}{2^4}\) \({}= \frac{11}{128}\) \({}= 0{,}0859\)

1.5.1 (a) \(3/4\)(b) \(16/21\)

1.5.3 (a) \(1/8\)(b) \((1/8)/(1/2) = 1/4\)(c) \(0/(1/2) = 0\)

1.5.5 \(1\)

1.5.7 \(0{,}074\)

1.5.9 (a) Não(b) Sim(c) Sim(d) Sim(e) Não

1.5.11 (a) \(0{,}1667\)(b) \(0{,}3125\)

1.6.1 \(1/3\)

1.6.3 \(\{A_n\} \nearrow A = \{1, 2, 3, \ldots\} = S\)

1.6.5 \(1\)

1.6.7 Suponha que não exista \(n\) tal que \(P([0, n]) > 0{,}9\) e então note que isso implica \(1 = P([0, \infty)) = \lim_{n\to\infty} P([0, n]) \le 0{,}9\).

1.6.9 Não

Capítulo 2

2.1.1 (a) \(1\)(b) Não existe(c) Não existe(d) \(1\)

2.1.3 (a) \(X(s) = s\) e \(Y(s) = s^2\) para todo \(s \in S\).(b) Neste exemplo, \(Z(1) = 2\), \(Z(2) = 18\), \(Z(3) = 84\), \(Z(4) = 260\), \(Z(5) = 630\).

2.1.5 Sim, para \(A \cap B\).

2.1.7 (a) \(W(1) = 2\)(b) \(W(2) = 0\)(c) \(W(3) = -1\)(d) \(W \ge Z\) não é verdade.

2.1.9 (a) \(Y(1) = 1\)(b) \(Y(2) = 4\)(c) \(Y(4) = 0\)

2.2.1 \(P(X = 0) = P(X = 2) = 1/4\), \(P(X = 1) = 1/2\), \(P(X = x) = 0\) para \(x \ne 0, 1, 2\)

2.2.3 (a) \(P(Y = y) = 0\) para \(y \ne 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\), \(P(Y = 2) = 1/36\), \(P(Y = 3) = 2/36\), \(P(Y = 4) = 3/36\), \(P(Y = 5) = 4/36\), \(P(Y = 6) = 5/36\), \(P(Y = 7) = 6/36\), \(P(Y = 8) = 5/36\), \(P(Y = 9) = 4/36\), \(P(Y = 10) = 3/36\), \(P(Y = 11) = 2/36\), \(P(Y = 12) = 1/36\)(b) \(P(Y \in B) = (1/36)I_B(2)\) \({}+ (2/36)I_B(3)\) \({}+ (3/36)I_B(4)\) \({}+ (4/36)I_B(5)\) \({}+ (5/36)I_B(6)\) \({}+ (6/36)I_B(7)\) \({}+ (5/36)I_B(8)\) \({}+ (4/36)I_B(9)\) \({}+ (3/36)I_B(10)\) \({}+ (2/36)I_B(11)\) \({}+ (1/36)I_B(12)\)

2.2.5 (a) \(P(X = 1) = 0{,}3\), \(P(X = 2) = 0{,}2\), \(P(X = 3) = 0{,}5\) e \(P(X = x) = 0\) para todo \(x \notin \{1, 2, 3\}\)(b) \(P(Y = 1) = 0{,}3\), \(P(Y = 2) = 0{,}2\), \(P(Y = 3) = 0{,}5\) e \(P(Y = y) = 0\) para todo \(y \notin \{1, 2, 3\}\)(c) \(P(W = 2) = 0{,}09\), \(P(W = 3) = 0{,}12\), \(P(W = 4) = 0{,}34\), \(P(W = 5) = 0{,}2\), \(P(W = 6) = 0{,}25\) e \(P(W = w) = 0\) para todas as outras escolhas de \(w\).

2.2.7 \(P(X = 25) = 0{,}45\), \(P(X = 30) = 0{,}55\) e \(P(X = x) = 0\) caso contrário

2.3.1 \(p_Y(2) = 1/36\), \(p_Y(3) = 2/36\), \(p_Y(4) = 3/36\), \(p_Y(5) = 4/36\), \(p_Y(6) = 5/36\), \(p_Y(7) = 6/36\), \(p_Y(8) = 5/36\), \(p_Y(9) = 4/36\), \(p_Y(10) = 3/36\), \(p_Y(11) = 2/36\), \(p_Y(12) = 1/36\) e \(p_Y(y) = 0\) caso contrário

2.3.3 \(p_Z(1) = p_Z(5) = 1/4\), \(p_Z(0) = 1/2\) e \(p_Z(z) = 0\) caso contrário

2.3.5 \(p_W(1) = 1/36\), \(p_W(2) = 2/36\), \(p_W(3) = 2/36\), \(p_W(4) = 3/36\), \(p_W(5) = 2/36\), \(p_W(6) = 4/36\), \(p_W(8) = 2/36\), \(p_W(9) = 1/36\), \(p_W(10) = 2/36\), \(p_W(12) = 4/36\), \(p_W(15) = 2/36\), \(p_W(16) = 1/36\), \(p_W(18) = 2/36\), \(p_W(20) = 2/36\), \(p_W(24) = 2/36\), \(p_W(25) = 1/36\), \(p_W(30) = 2/36\) e \(p_W(36) = 1/36\), com \(p_W(w) = 0\) caso contrário

2.3.7 \(\theta = 11/12\)

2.3.9 \(53/512\)

2.3.11 \(\theta^{10}\)

2.3.15 (a) \(\binom{10}{3}(0{,}35)^3(0{,}65)^7\)(b) \((0{,}35)(0{,}65)^9\)(c) \(\binom{9}{1}(0{,}35)^2(0{,}65)^8\)

2.3.17 (a) Hipergeométrica\((9, 4, 2)\)(b) Hipergeométrica\((9, 5, 2)\)

2.3.19 \(P(X = 5) \approx \left((100/1000)^5/5!\right)\exp\{-100/1000\}\)

2.4.1 (a) \(0\)(b) \(0\)(c) \(0\)(d) \(2/3\)(e) \(2/3\)(f) \(1\)(g) \(= 1\)

2.4.3 (a) \(e^{-20}\)(b) \(1\)(c) \(e^{-12}\)(d) \(e^{-4(25)^{1/4}}\)

2.4.5 Não

2.4.7 \(c = 3/M^3\)

2.4.9 \(\int_1^2 f(x)\,dx > \int_1^2 g(x)\,dx\)

2.4.11 Sim

2.4.13 \(P(Y < 3) = \int_{-\infty}^{3} (2\pi)^{-1/2}\exp(-(y - 1)^2/2)\,dy\) \({}= \int_{-\infty}^{2} (2\pi)^{-1/2}\exp(-u^2/2)\,du\) \({}= P(X < 2)\)

2.5.1 As propriedades (a) e (b) seguem por inspeção. As propriedades (c) e (d) seguem porque \(F_X(x) = 0\) para \(x < 1/6\) e \(F_X(x) = 1\) para \(x > 1\).

2.5.3 (a) Não(b) Sim(c) Sim(d) Não(e) Sim(f) Sim(g) Não

2.5.5 Logo: (a) \(0{,}933\)(b) \(0{,}00135\)(c) \(1{,}90 \times 10^{-8}\)

2.5.7 (a) \(1/9\)(b) \(3/16\)(c) \(12/25\)(d) \(0\)(e) \(1\)(f) \(0\)(g) \(1\)(h) \(0\)

2.5.9 (b) Não

2.5.11 (b) Sim

2.5.13 (b) A função \(F\) é não decrescente, \(\lim_{x\to-\infty} F(x) = 0\) e \(\lim_{x\to\infty} F(x) = 1\).(c) \(P(X > 4/5) = 0\), \(P(-1 < X < 1/2) = 3/4\), \(P(X = 2/5) = 5/12\), \(P(X = 4/5) = 1/4\)

2.5.15 (a) \(P(Z > 4/5) = 2e^{-16/25}/3\)(b) \(P(-1 < Z < 1/2) = 11/12 - 2e^{-1/2}/3\)(c) \(P(Z = 2/5) = 5/36\)(d) \(P(Z = 4/5) = 1/12\)(e) \(P(Z = 0) = 1/9\)(f) \(P(Z = 1/2) = 11/12 - 2e^{-1/2}/3\)

2.6.1 \(f_Y(y)\) é igual a \(1/(R - L)c\) para \(L \le (y - d)/c \le R\) e, caso contrário, é igual a \(0\).

2.6.3 \(f_Y(y) = e^{-[y - d - c\mu]^2/2c^2\sigma^2}/c\sigma\sqrt{2\pi}\)

2.6.5 \(f_Y(y)\) é igual a \((\lambda/3)y^{-2/3}e^{-\lambda y^{1/3}}\) para \(y > 0\) e, caso contrário, é igual a \(0\).

2.6.7 \(f_Y(y) = 1/6y^{1/2}\) para \(0 < y < 9\)

2.6.9 (a) \(f_Y(y) = y/8\)(b) \(f_Z(z) = z^7/2\) para \(0 < z < \sqrt{2}\)

2.6.11 \(f_Y(y) = y^{-1/2}\sin(y^{1/2})/4\) para \(0 < y < \pi^2\) e \(0\) caso contrário

2.6.13 \(f_Y(y) = (2\pi)^{-1/2}(3|y|^{2/3})^{-1}\exp(-|y|^{2/3}/2)\)

2.7.1 \[ F_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 0 & \min[x, \ (y + 2)/4] < 0 \\ 1/3 & 0 \le \min[x, \ (y + 2)/4] < 1 \\ 1 & \min[x, \ (y + 2)/4] \ge 1 \end{cases} \]

2.7.3 (a) \(p_X(2) = p_X(3)\) \({}= p_X(-3) = p_X(-2)\) \({}= p_X(17) = 1/5\), com \(p_X(x) = 0\) caso contrário(b) \(p_Y(3) = p_Y(2)\) \({}= p_Y(-2) = p_Y(-3)\) \({}= p_Y(19) = 1/5\), com \(p_Y(y) = 0\) caso contrário(c) \(P(Y > X) = 3/5\)(d) \(P(Y = X) = 0\)(e) \(P(XY < 0) = 0\)

2.7.5 \(\{X \le x, \ Y \le y\} \subseteq \{X \le x\}\) e \(\{X \le x, \ Y \le y\} \subseteq \{Y \le y\}\)

2.7.7 (a) \(f_X(x) = c(1 - \cos(2x))/x\) para \(0 < x < 1\) e \(0\) caso contrário(b) \(f_Y(y) = c(1 - \cos(y))/y\) para \(0 < y < 2\) e \(0\) caso contrário

2.7.9 (a) \(f_X(x) = (4 + 3x^2 - 2x^3)/8\) para \(x \in (0, 2)\) e \(0\) caso contrário(b) \(f_Y(y) = (y^3 + 3y^2)/12\) para \(y \in (0, 2)\) e \(0\) caso contrário(c) \(P(Y < 1) = 5/48\)

2.8.1 (a) \(p_X(-2) = 1/4\), \(p_X(9) = 1/4\), \(p_X(13) = 1/2\); caso contrário, \(p_X(x) = 0\)(b) \(p_Y(3) = 2/3\), \(p_Y(5) = 1/3\); caso contrário, \(p_Y(y) = 0\)(c) Sim

2.8.3 (a) \(f_X(x) = (18x/49) + (40/49)\) para \(0 \le x \le 1\) e \(f_X(x) = 0\) caso contrário(b) \(f_Y(y) = (48y^2 + 6y + 30)/49\) para \(0 \le y \le 1\) e \(f_Y(y) = 0\) caso contrário(c) Não

2.8.5 (a) \(P(Y = 4 \mid X = 9) = 1/6\)(b) \(P(Y = -2 \mid X = 9) = 1/2\)(c) \(P(Y = 0 \mid X = -4) = 0\)(d) \(P(Y = -2 \mid X = 5) = 1\)(e) \(P(X = 5 \mid Y = -2) = 1/3\)

2.8.7 (a) \(f_X(x) = x^2 + 2/3\), \(f_Y(y) = 4y^5 + 2y/3\) para \(0 \le x \le 1\) e \(0 \le y \le 1\), \(f_{Y|X}(y \mid x)\) \({}= (2x^2y + 4y^5)/(x^2 + 2/3)\) (caso contrário, \(f_{Y|X}(y \mid x) = 0\)); logo, \(X\) e \(Y\) não são independentes.(b) \(f_X(x) = C(x^5/6 + x/2)\), \(f_Y(y) = C(y^5/6 + y/2)\) para \(0 \le x \le 1\) e \(0 \le y \le 1\), \(f_{Y|X}(y \mid x)\) \({}= (xy + x^5y^5)/(x^5/6 + x/2)\) (caso contrário, \(f_{Y|X}(y \mid x) = 0\)); \(X\) e \(Y\) não são independentes.(c) \(f_X(x) = C(500.000x^5/3 + 50x)\), \(f_Y(y) = C(2048y^5/3 + 8y)\) para \(0 \le x \le 4\) e \(0 \le y \le 10\), \(f_{Y|X}(y \mid x)\) \({}= (xy + x^5y^5)/(500.000x^5/3 + 50x)\) (caso contrário, \(f_{Y|X}(y \mid x) = 0\)); logo, \(X\) e \(Y\) não são independentes.(d) \(f_X(x) = C(500.000x^5/3)\) e \(f_Y(y) = C(2048y^5/3)\) para \(0 \le x \le 4\) e \(0 \le y \le 10\), \(f_{Y|X}(y \mid x) = 3y^5/500.000\) (caso contrário, \(f_{Y|X}(y \mid x) = 0\)); \(X\) e \(Y\) são independentes.

2.8.9 \(P(X = 1,\ Y = 1)\) \({}= P(X = 1,\ Y = 2)\) \({}= P(X = 2,\ Y = 1)\) \({}= P(X = 3,\ Y = 3)\) \({}= 1/4\)

2.8.11 Se \(X = C\) é constante, então \(P(X \in B_1) = I_{B_1}(C)\) e \(P(X \in B_1,\ Y \in B_2)\) \({}= I_{B_1}(C)\,P(Y \in B_2)\).

2.8.13 (a)

(b)

(c) \(X\) e \(Y\) são independentes.

2.8.15 \(f_{Y|X}(y \mid x)\) \({}= 2(x^2 + y)/(4 + 3x^2 - 2x^3)\) para \(x < y < 2\) e \(0\) caso contrário (b) \(f_{X|Y}(x \mid y) = 3(x^2 + y)/(y^3 + 3y^2)\) para \(0 < x < y\) e \(0\) caso contrário(c) Não são independentes

2.9.1 \(\dfrac{\partial h_1}{\partial u_1}\) \({}= -\cos(2\pi u_2)\big/u_1\sqrt{2\log(1/u_1)}\), \(\dfrac{\partial h_1}{\partial u_2}\) \({}= -2\pi\sin(2\pi u_2)\sqrt{2\log(1/u_1)}\), \(\dfrac{\partial h_2}{\partial u_1}\) \({}= -\sin(2\pi u_2)\big/u_1\sqrt{2\log(1/u_1)}\), \(\dfrac{\partial h_2}{\partial u_2}\) \({}= -2\pi\cos(2\pi u_2) \times \sqrt{2\log(1/u_1)}\).¹

2.9.3 (b) \(h(x, y) = (x^2 + y^2, \ x^2 - y^2)\)(c) \(h^{-1}(z, w)\) \({}= \left(\sqrt{(z + w)/2}, \ \sqrt{(z - w)/2}\right)\), pelo menos para \(z + w \ge 0\) e \(z - w \ge 0\)(d) \(f_{Z,W}(z, w)\) \({}= e^{-\sqrt{(z + w)/2}}\big/2\sqrt{z^2 - w^2}\) para \(\sqrt{(z + w)/2} \ge 0\) e \(1 \le \sqrt{(z - w)/2} \le 4\), isto é, para \(z \ge 4\) e \(\max(-z, \ z - 64) \le w \le z - 4\), e \(0\) caso contrário

2.9.5 (b) \(h(x, y) = (y^4, \ x^4)\)(c) \(h^{-1}(z, w) = (w^{1/4}, \ z^{1/4})\)(d) \(f_{Z,W}(z, w) = e^{-w^{1/4}}\) para \(w^{1/4} \ge 0\) e \(1 \le z^{1/4} \le 4\), isto é, para \(w \ge 0\) e \(1 \le z \le 256\), e \(0\) caso contrário

2.9.7 \(p_Z(2) = 1/18\), \(p_Z(4) = 1/12\), \(p_Z(5) = 1/18\), \(p_Z(7) = 1/24\), \(p_Z(8) = 1/72\), \(p_Z(9) = 1/4\), \(p_Z(11) = 3/8\), \(p_Z(12) = 1/8\), \(p_Z(z) = 0\) caso contrário

2.9.9 (a)

(b) \(p_Z(z) = 1/5\) para \(z = -8, -7, -3, -2, 0\) e, caso contrário, \(p_Z(z) = 0\)(c) \(p_W(w) = 1/5\) para \(w = 6, 11, 14, 16, 19\) e, caso contrário, \(p_W(w) = 0\)

2.10.1 \(Z = -7\) se \(U \le 1/2\), \(Z = -2\) se \(1/2 < U \le 5/6\) e \(Z = 5\) se \(U > 5/6\)

2.10.3 \(Y \sim \text{Exponencial}(3)\)

2.10.5 \(c_1 = \pm 3\sqrt{2}\) e \(c_2 = 5\)

2.10.7 (a) Para \(x < 1\), \(F_X(x) = 0\); para \(1 \le x < 2\), \(F_X(x) = 1/3\); para \(2 \le x < 4\), \(F_X(x) = 1/2\); para \(x \ge 4\), \(F_X(x) = 1\).(b) Os valores de \(t\) têm de ficar restritos a \((0, 1]\) porque \(F_X^{-1}(0) = -\infty\). \(F_X^{-1}(t) = 1\) para \(t \in (0, 1/3]\), \(F_X^{-1}(t) = 2\) para \(t \in (1/3, 1/2]\) e \(F_X^{-1}(t) = 4\) para \(t \in (1/2, 1]\).(c) Para \(y < 1\), \(F_Y(y) = 0\); para \(1 \le y < 2\), \(F_Y(y) = 1/3\); para \(2 \le y < 4\), \(F_Y(y) = 1/2\); para \(y \ge 4\), \(F_Y(y) = 1\).

2.10.9 \(Y = F_Z^{-1}(U) = U^{1/4}\)

Capítulo 3

3.1.1 (a) \(E(X) = 8/7\)(b) \(E(X) = 1\)(c) \(E(X) = 8\)

3.1.3 (a) \(E(X) = -1\)(b) \(E(Y) = 11\)(c) \(E(X^2) = 19\)(d) \(E(Y^2) = 370/3\)(e) \(E(X^2 + Y^2) = 427/3\)(f) \(E(XY - 4Y) = -113/2\)

3.1.5 \(E(8X - Y + 12) = 8((1 - p)/p) - \lambda + 12\)

3.1.7 \(E(XY) = 30\)

3.1.9 \(E(X) = 6\)

3.1.11 (a) \(E(Z) = 7\)(b) \(E(W) = 49/4\)

3.1.13 \(E(Y) = 7/4\)

3.2.1 (a) \(C = 1/4\), \(E(X) = 7\)(b) \(C = 1/16\), \(E(X) = 169/24\)(c) \(C = 5/3093\), \(E(X) = -8645/2062\)

3.2.3 (a) \(E(X) = 17/24\)(b) \(E(Y) = 17/8\)(c) \(E(X^2) = 11/20\)(d) \(E(Y^2) = 99/20\)(e) \(E(Y^4) = 216/7\)(f) \(E(X^2Y^3) = 27/4\)

3.2.5 \(E(-5X - 6Y) = -77/3\)

3.2.7 \(E(Y + Z) = 17/72\)

3.2.9 Seja \(\mu_k = E(X^k)\); então \(\mu_1 = 39/25\), \(\mu_2 = 64/25\), \(\mu_3 = 152/35\).

3.2.11 \(334\)

3.2.13 \(E(Y) = 214{,}1\)

3.2.15 Sim

3.3.1 (a) \(\Cov(X, Y) = 2/3\)(b) \(\Var(X) = 2\), \(\Var(Y) = 32/9\)(c) \(\Corr(X, Y) = 1/4\)

3.3.3 \(\Corr(X, Y) = -0{,}18292\)

3.3.5 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)

3.3.7 (a) \(\Cov(X, Z) = 1/9\)(b) \(\Corr(X, Z) = 1/\sqrt{46}\)

3.3.9 \(E(X(X - 1)) = E(X^2) - E(X)\); quando \(X \sim \text{Binomial}(n, \theta)\), \(E(X(X - 1)) = n(n - 1)\theta^2\)

3.3.11 \(E(X) = 7/2\), \(E(Y) = 7\), \(E(XY) = 329/12\), \(\Cov(X, Y) = 35/12\)

3.3.13 \(\Cov(Z, W) = 0\), \(\Corr(Z, W) = 0\)

3.3.15 \(\Cov(X, Y) = 35/24\)

3.4.1 (a) \(r_Z(t) = t/(2 - t)\), \(r_Z'(t) = 2/(2 - t)^2\), \(r_Z''(t) = -4/(t - 2)^3\)(b) \(E(Z) = 2\), \(\Var(Z) = 2\), \(m_Z(t) = e^t/(2 - e^t)\), \(m_Z'(t) = 2e^t/(2 - e^t)^2\), \(m_Z''(t) = 2e^t(2 + e^t)/(2 - e^t)\).²

3.4.3 \(m_Y(s) = e^{\lambda(e^s - 1)}\), \(m_Y'(s) = \lambda e^s e^{\lambda(e^s - 1)}\), então \(m_Y'(s) = \lambda\), \(m_Y''(s) = (\lambda e^s + \lambda^2 e^{2s})e^{\lambda(e^s - 1)}\), então \(m_Y''(s) = \lambda + \lambda^2\), \(\Var(Y) = \lambda\) \({}+ \lambda^2 - (\lambda)^2\) \({}= \lambda\).³

3.4.5 \(m_Y(s) = e^{4s}m_X(3s)\)

3.4.7 \(m_Y'''(s) = e^{\lambda(e^s - 1)}e^s\lambda(1 + 3e^s\lambda + e^{2s}\lambda^2)\), \(E(Y^3) = m_Y'''(0)\) \({}= \lambda(1 + 3\lambda + \lambda^2)\)

3.5.1 (a) \(E(X \mid Y = 3) = 5/2\)(b) \(E(Y \mid X = 3) = 22/3\)(c) \(E(X \mid Y = 2) = 5/2\), \(E(X \mid Y = 17) = 3\)(d) \(E(Y \mid X = 2) = 5/2\), \(E(Y \mid X = 3) = 22/3\)

3.5.3 (a) \(E(Y \mid X = 6) = 25/4\)(b) \(E(Y \mid X = -4) = 36/7\)(c) \(E(Y \mid X) = 25/4\) sempre que \(X = 6\), e \(E(Y \mid X) = 36/7\) sempre que \(X = -4\).

3.5.7 \(E(Z \mid W = 4) = 14/3\) (b) \(E(W \mid Z = 4) = 10/3\)

3.5.9 (a) \(E(X \mid Y = 0) = 1\)(b) \(E(X \mid Y = 1) = 2\)(c) \(E(Y \mid X = 0) = 0\)(d) \(E(Y \mid X = 1) = 1/3\)(e) \(E(Y \mid X = 2) = 2/3\)(f) \(E(Y \mid X = 3) = 1\)(g) \(E(Y \mid X) = X/3\)

3.5.11 (a) \(E(X) = \frac{27}{19}\)(b) \(E(Y) = \frac{52}{95}\)(c) \(E(X \mid Y = y) = 3(2 + y^3)/(4 + 3y^3)\)(d) \(E(Y \mid X = x) = (x^2/2 + 1/5)/(x^2 + 1/4)\)(e) \(E[E(X \mid Y)]\) \({}= \int_0^1 \frac{3(2 + y^3)}{4 + 3y^3} \cdot \frac{4}{19}(4 + 3y^3)\,dy\) \({}= \frac{27}{19}\)(f) \(E[E(Y \mid X)]\) \({}= \int_0^2 \frac{x^2/2 + 1/5}{x^2 + 1/4} \cdot \frac{6}{19}\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)dx\) \({}= \frac{52}{95}\).

3.6.1 \(3/7\)

3.6.3 (a) \(1/9\)(b) \(1/2\)(c) \(2\)(d) A cota superior⁴ do item (b) é menor e, portanto, mais útil que a do item (c).

3.6.5 \(1/4\)

3.6.7 (a) \(10.000\)(b) \(12.100\)

3.6.9 (a) \(1\)(b) \(1/4\)

3.6.11 (a) \(E(Z) = 8/5\)(b) \(32/75\)

3.6.13 \(7/16\)

3.7.1 \(E(X_1) = 3\), \(E(X_2) = 0\), \(E(Y) = 3/5\)

3.7.3 \(P(X < t) = 0\) para \(t < 0\), enquanto \(P(X > t) = 1\) para \(0 < t < C\) e \(P(X > t) = 0\) para \(t > C\)

3.7.5 \(E(X) = 2\)

3.7.7 \(E(W) = 1/5\)

3.7.9 \(E(W) = 21/2\)

Capítulo 4

4.1.1 \(P(Y_3 = 1) = 1/8\), \(P(Y_3 = 2) = 1/64\), \(P(Y_3 = 3) = 1/64\), \(P(Y_3 = 2^{1/3}) = 3/16\), \(P(Y_3 = 3^{1/3}) = 3/16\), \(P(Y_3 = 4^{1/3}) = 3/32\), \(P(Y_3 = 9^{1/3}) = 3/32\), \(P(Y_3 = 12^{1/3}) = 3/64\), \(P(Y_3 = 18^{1/3}) = 3/64\), \(P(Y_3 = 6^{1/3}) = 3/16\)

4.1.3 Se \(Z\) é a média amostral, então \(P(Z = 0) = p^2\), \(P(Z = 0{,}5) = 2p(1 - p)\) e \(P(Z = 1) = (1 - p)^2\).

4.1.5 Para \(1 \le j \le 6\), \(P(\max = j) = (j/6)^{20} - ((j - 1)/6)^{20}\).

4.1.7 Se \(W = XY\), então \[ P(W = w) = \begin{cases} 1/36 & \text{se } w = 1, 9, 16, 25, 36, \\ 1/18 & \text{se } w = 2, 3, 5, 8, 10, 15, 18, 20, 24, 30, \\ 1/12 & \text{se } w = 4, \\ 1/9 & \text{se } w = 6, 12, \\ 0 & \text{caso contrário.} \end{cases} \]

4.1.9 \(p_Y(y) = 1/2\) para \(y = 1, 2\); caso contrário, \(p_Y(y) = 0\)

4.2.1 Note que \(Z_n = Z\), a menos que \(7 \le U < 7 + 1/n^2\). Logo, para todo \(\epsilon > 0\), \(P(|Z_n - Z| \ge \epsilon) \le P(7 \le U < 7 + 1/n^2)\) \({}= 1/5n^2 \to 0\) quando \(n \to \infty\).

4.2.3 \(P(W_1 + \cdots + W_n < n/2)\) \({}= 1 - P(W_1 + \cdots + W_n \ge n/2) \ge 1 - P\left(\left|\frac{1}{n}(W_1 + \cdots + W_n) - \frac{1}{3}\right| \ge 1/6\right)\)

4.2.5 \(P(X_1 + \cdots + X_n > 9n) \le P(|(X_1 + \cdots + X_n)/n - 8| \ge 1)\)

4.2.7 Para todo \(\epsilon > 0\) e \(n > -2\ln\epsilon\), \(P(|X_n - Y| \ge \epsilon)\) \({}= P(e^{-H_n} \ge \epsilon)\) \({}= P(H_n \le -\ln\epsilon) \le P(|H_n - n/2| \ge |n/2 + \ln\epsilon|)\ n \to \infty\).⁵

4.2.9 Por definição, \(H_n - 1 \le F_n \le H_n\) e \(P(|X_n - Y_n - Z| \ge \epsilon)\) \({}= P(|H_n - F_n|/(H_n + 1) \ge \epsilon) \le P(1/(H_n + 1) \ge \epsilon)\) \({}= P(H_n \le (1/\epsilon) - 1)\) \({}= P(H_n - n/2 \le (1/\epsilon) - 1 - n/2) \le P(|H_n - n/2| \ge |1 + n/2 - 1/\epsilon|)\).

4.2.11 \(r = 9/2\)

4.3.1 Note que \(Z_n = Z\), a menos que \(7 \le U < 7 + 1/n^2\). Além disso, se \(U > 7\), então \(Z_n = Z\) sempre que \(1/n^2 < 7 - U\), isto é, \(n > 1/\sqrt{7 - U}\). Logo, \(P(Z_n \to Z) \ge P(U \ne 7)\).

4.3.3 \(\{(W_1 + \cdots + W_n)/n \to 1/3\} \subseteq \{\exists\, n;\ (W_1 + \cdots + W_n)/n < 1/2\}\) \({}= \{\exists\, n;\ W_1\) \({}+ \cdots + W_n < n/2\}\)

4.3.5 \(P(X_n \to X \text{ e } Y_n \to Y)\) \({}= 1 - P(X_n \nrightarrow X \text{ ou } Y_n \nrightarrow Y) \ge 1 - P(X_n \nrightarrow X) - P(Y_n \nrightarrow Y)\)

4.3.7 \(m = 5\)

4.3.9 \(r = 9/2\)

4.3.11 (a) Suponha que não exista tal \(m\) e, a partir disso, obtenha uma contradição com a lei forte dos grandes números⁶.(b) Não

4.4.1 \(\lim_{n\to\infty} P(X_n = i)\) \({}= 1/3 = P(X = i)\) para \(i = 1, 2, 3\)

4.4.3 Aqui, \(P(Z_n \le 1) = 1\); para \(0 \le z < 1\), \(P(Z_n \le z) = z^{n+1}\); e \(P(Z \le z) = 1\) para \(z \ge 1\).

4.4.5 \(P(S \le 540) \approx \Phi(1/2) = 0{,}6915\)

4.4.7 \(P(S \ge 2450) \approx \Phi(-0{,}51)\) \({}= 0{,}3050\)

4.4.9 (a) Para \(0 < y < 1\), \(P(Z \le y) = y^2\).(b) Para \(1 \le m \le n\), \(P(X_n \le m/n) = m(m + 1)/[n(n + 1)]\).(c) Para \(0 < y < 1\), seja \(m = \lfloor ny \rfloor\), o maior inteiro não maior que \(ny\). Como não há inteiro em \((m, ny)\), \(P(m/n < X_n < y) \le P(m/n < X_n < (m + 1)/n)\) \({}= 0\). Assim, \(P(X_n \le y) = m(m + 1)/[n(n + 1)]\), em que \(m = \lfloor ny \rfloor\).(d) Para \(0 < y < 1\), seja \(m_n = \lfloor ny \rfloor\); mostre que \(m_n/n \to y\) quando \(n \to \infty\). Depois mostre que \(P(X_n \le y) \to y^2\) quando \(n \to \infty\).

4.4.11 \(\lambda = 3\)

4.4.13 A produção anual, \(Y\), tem distribuição aproximadamente normal com média 1300 e variância⁷ 433. Assim, \(P(Y < 1280) \approx 0{,}1685\).

4.5.1 A integral é igual a \(\sqrt{2\pi}\,E(\cos^2(Z))\), em que \(Z \sim N(0, 1)\).

4.5.3 Esta integral é igual a \((1/5)E(e^{-14Z^2})\), em que \(Z \sim \text{Exponencial}(5)\).

4.5.5 Esta soma é aproximadamente igual a \(e^5E(\sin(Z^2))\), em que \(Z \sim \text{Poisson}(5)\).

4.5.7 \((-6{,}1404; -3{,}8596)\)

4.5.9 \((0{,}354; 0{,}447)\)

4.5.11 (a) \(C = \left\{\int_0^1\int_0^1 g(x, y)\,dx\,dy\right\}^{-1}\)(b) Gere os \(X_i\) a partir de \(f_X(x) = 3x^2\) para \(0 < x < 1\) e os \(Y_i\) a partir de \(f_Y(y) = 4y^3\) para \(0 < y < 1\). Tome \(D_i = \sin(X_iY_i)\cos(\sqrt{X_iY_i}\,) \times \exp(X_i^2 + Y_i)/12\) e \(N_i = X_i \cdot D_i\) para \(i = 1, \ldots, n\). Estime \(E(X)\) por \(M_n = \overline{N}/\overline{D}\) \({}= (N_1 + \cdots + N_n)/(D_1 + \cdots + D_n)\).⁸

4.5.13 (a) \(J = \int_0^1\int_0^\infty e^y\,h(x, y)\,I_{[0, \infty)}(y)e^{-y}\,dy\,I_{[0, 1]}(x)\,dx\)(b) Gere \(X_i\) e \(Y_i\) de forma apropriada, tome \(T_i = e^{Y_i}h(X_i, Y_i)\) e estime \(J\) por \(M_n = (T_1 + \cdots + T_n)/n\).(c) \(J = \int_0^1\int_0^\infty e^{5y}\,h(x, y)\,I_{[0, \infty)}(y)5e^{-5y}\,dy\,I_{[0, 1]}(x)\,dx\)(d) Como no item (b).(e) O estimador de menor variância é melhor. Portanto, use as variâncias amostrais para escolher entre eles.

4.6.1 (a) \(U \sim N(43, \ 629)\), \(V \sim N(-18 - 8C, \ 144 + 25C^2)\)(b) \(C = -24/125\)

4.6.3 \(C_1 = 1/5\), \(C_2 = -3\), \(C_3 = 1/2\), \(C_4 = 7\), \(C_5 = 2\)

4.6.5 Sejam \(Z_1, \ldots, Z_n, W_1, \ldots, W_m \sim N(0, 1)\) i.i.d. e tome \(X = (Z_1)^2 + \cdots + (Z_n)^2\) e \(Y = (W_1)^2 + \cdots + (W_n)^2\).⁹

4.6.7 \(C = \sqrt{n}\)

4.6.9 \(C_1 = 2/5\), \(C_2 = -3\), \(C_3 = 2\), \(C_4 = 7\), \(C_5 = 2\), \(C_6 = 1\), \(C_7 = 1\)

4.6.11 (a) \(m = 60\), \(K = \sqrt{61}\)(b) \(y = 1{,}671\)(c) \(a = 61\), \(b = 1\), \(c = 60\)(d) \(w = 4{,}00\)

Capítulo 5

5.1.1 Os tempos médios de sobrevivência do grupo de controle e do grupo de tratamento¹⁰ são 93,2 dias e 356,2 dias, respectivamente.

5.1.3 Para os que ainda estão vivos, os tempos de sobrevivência serão maiores que os valores registrados; portanto, esses dados são incompletos.

5.1.5 \(\bar{x} = -0{,}1375\)

5.1.7 Use a diferença \(\bar{x} - \bar{y}\).

5.2.1 No Exemplo 5.2.1, a moda é 0. No Exemplo 5.2.2, a moda é 1.

5.2.3 A mistura tem densidade \((5/\sqrt{2\pi}) \exp\{-(x + 4)^2/2\}\) \({}+ (5/\sqrt{2\pi}) \exp\{-(x - 4)^2/2\}\) para \(-\infty < x < \infty\).¹¹

5.2.5 \(x = 10\)

5.2.7 A moda é \(1/3\).

5.2.9 A moda é \(x = 0\).

5.3.1 O modelo estatístico para uma única resposta consiste em três funções de probabilidade \(\{\text{Bernoulli}(1/2), \text{Bernoulli}(1/3), \text{Bernoulli}(2/3)\}\).

5.3.3 A amostra \((X_1, \ldots, X_n)\) é uma amostra de uma distribuição \(N(\mu, \sigma^2)\), em que \(\theta = (\mu, \sigma^2) \in \negrito{\Omega}\) \({}= \{(10, 2), (8, 3)\}\). Tanto a média quanto a variância populacionais identificam univocamente a distribuição populacional.

5.3.5 Uma única observação provém de uma distribuição Exponencial\((\theta)\), em que \(\theta \in \negrito{\Omega} = [0, \infty)\). Podemos parametrizar esse modelo pela média ou pela variância, mas não pelo coeficiente de variação.

5.3.7 (a) \(\negrito{\Omega} = \{A, B\}\)(b) O valor \(X = 1\) só pode ser observado quando \(\theta = A\).(c) Tanto \(\theta = A\) quanto \(\theta = B\) são possíveis.

5.3.9 \(P_1\)

5.4.1 \[ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 1\\[5pt] \frac{4}{10} & 1 \le x < 2\\[5pt] \frac{7}{10} & 2 \le x < 3\\[5pt] \frac{9}{10} & 3 \le x < 4\\[5pt] 1 & 4 \le x \end{cases}, \qquad f_X(x) = \begin{cases} \frac{4}{10} & x = 1\\[5pt] \frac{3}{10} & x = 2\\[5pt] \frac{2}{10} & x = 3\\[5pt] \frac{1}{10} & x = 4 \end{cases} \] \[ \mu_X = \sum_{x=1}^4 x f_X(x) = 2, \qquad \sigma_X^2 = \Bigl(\sum_{x=1}^4 x^2 f_X(x)\Bigr) - 2^2 = 1 \]

5.4.3 (a) Sim.(b) Use a Tabela D.1, escolhendo uma linha e lendo os três primeiros números de um só algarismo (trate o 0 da tabela como 10).(c) Usando a linha 108 da Tabela D.1 (tratando o 0 como 10): primeira amostra — obtemos os números aleatórios 6, 0, 9 e, assim, calculamos \((X(\pi_6) + X(\pi_{10}) + X(\pi_9))/3\) \({}= 3{,}0\). Segunda amostra — obtemos os números aleatórios 4, 0, 7 e, assim, calculamos \((X(\pi_6) + X(\pi_{10}) + X(\pi_9))/3\) \({}= 2{,}6667\). Terceira amostra — obtemos os números aleatórios 2, 0, 2 (note que não pulamos o segundo 2) e, assim, calculamos \((X(\pi_6) + X(\pi_{10}) + X(\pi_9))/3\) \({}= 2{,}0\).¹²

5.4.5 (c) A forma de um histograma depende dos intervalos usados.

5.4.7 É uma variável categórica.

5.4.9 (a) Os alunos tendem mais a mentir quando já baixaram música ilegalmente; portanto, os resultados do estudo serão falhos.(b) Com anonimato, os alunos tendem mais a dizer a verdade; portanto, haverá menos erro.(c) A probabilidade de que um aluno diga a verdade é \(p = 0{,}625\). Seja \(Y_i\) a resposta do aluno \(i\). Então \((\bar{Y} - (1 - p))/(2p - 1)\) é registrado como estimativa¹³ da proporção de alunos que já baixaram música ilegalmente.

5.5.1 (a) \(\hat{f}_X(0) = 0{,}2667\), \(\hat{f}_X(1) = 0{,}2\), \(\hat{f}_X(2) = 0{,}2667\), \(\hat{f}_X(3) = \hat{f}_X(4) = 0{,}1333\)(b) \(\hat{F}_X(0) = 0{,}2667\), \(\hat{F}_X(1) = 0{,}4667\), \(\hat{F}_X(2) = 0{,}7333\), \(\hat{F}_X(3) = 0{,}8667\), \(\hat{F}_X(4) = 1{,}000\)(d) A média é \(\bar{x} = 1{,}667\) e a variância é \(s^2 = 1{,}952\).(e) A mediana é 2 e \(IQR = 3\). Pela regra de 1,5 \(IQR\), não há valores atípicos.

5.5.3 (a) \(\hat{f}_X(1) = 25/82\), \(\hat{f}_X(2) = 35/82\), \(\hat{f}_X(3) = 22/82\)(b) Não.

5.5.5 A mediana amostral¹⁴ é 0, o primeiro quartil é \(-1{,}150\), o terceiro quartil é \(0{,}975\) e \(IQR = 2{,}125\). Estimamos \(F_X(1)\) por \(\hat{F}_X(1) = 17/20 = 0{,}85\).

5.5.7 \(\psi(\mu) = \mu + \sigma_0 z_{0{,}25}\), em que \(z_{0{,}25}\) satisfaz \(\Phi(z_{0{,}25}) = 0{,}25\)

5.5.9 \(\psi(\mu) = \Phi((3 - \mu)/\sigma_0)\)

5.5.11 \(\psi(\mu, \sigma^2) = \Phi((3 - \mu)/\sigma)\)

5.5.13 \(\psi(\theta) = 2\theta(1 - \theta)\)

5.5.15 \(\psi(\theta) = \alpha_0/\beta^2\)

Capítulo 6

6.1.1 O modelo estatístico adequado é Binomial\((n, \theta)\), em que \(\theta \in \negrito{\Omega} = [0, 1]\) é a probabilidade de ter esse anticorpo no sangue. A função de verossimilhança¹⁵ é \(L(\theta \mid 3)\) \({}= \binom{10}{3}\theta^3(1 - \theta)^7\).

6.1.3 \(L(\theta \mid x_1, \ldots, x_{20})\) \({}= \theta^{20}\exp(-(20\bar{x})\theta)\), e \(\bar{x}\) é uma estatística suficiente¹⁶.

6.1.5 \(c = \binom{10}{4}\big/\binom{9}{3}\)

6.1.7 \(L(\theta \mid x_1, \ldots, x_n)\) \({}= \prod_{i=1}^n \theta^{x_i}e^{-\theta}/x_i!\) \({}= \theta^{n\bar{x}}e^{-n\theta}\big/\prod x_i!\), e \(\bar{x}\) é uma estatística suficiente minimal¹⁷.

6.1.9 \(L(1 \mid 0)/L(2 \mid 0) = 4{,}4817\): a distribuição \(f_1\) é 4,4817 vezes mais verossímil que \(f_2\).

6.1.11 Não.

6.1.13 Não.

6.2.1 \(\hat{\theta}(1) = a\), \(\hat{\theta}(2) = b\), \(\hat{\theta}(3) = b\), \(\hat{\theta}(4) = a\)

6.2.3 \(\psi(\theta) = \theta^2\) é injetora¹⁸ e, portanto, \(\psi(\hat{\theta}(x_1, \ldots, x_n))\) \({}= \bar{x}^2\) é o EMV.

6.2.5 \(\hat{\theta} = \alpha_0/\bar{x}\)

6.2.7 \(\hat{\alpha} = -n\big/\sum_{i=1}^n \ln x_i\)

6.2.9 \(\hat{\alpha}\) \({}= n\big/\sum_{i=1}^n \ln(1 + x_i)\)

6.2.11 \(\hat{\mu}^3 = 32{,}768~\text{cm}^3\) é o EMV.

6.2.13 Uma função de verossimilhança não pode assumir valores negativos.

6.2.15 Funções de log-verossimilhança¹⁹ equivalentes diferem por uma constante aditiva.

6.3.1 Valor-p \(= 0{,}592\), e o intervalo de confiança²⁰ 0,95 é \((4{,}442; 5{,}318)\).

6.3.3 Valor-p \(= 0{,}000\), e o intervalo de confiança 0,95 é \((63{,}56; 67{,}94)\).

6.3.5 Valor-p \(= 0{,}00034\), e o intervalo de confiança 0,95 é \([47{,}617; 56{,}383]\). O tamanho mínimo da amostra necessário é 2.

6.3.7 Valor-p \(= 0{,}1138\); portanto, o resultado não é estatisticamente significativo²¹, e a diferença observada de \(1{,}05 - 1 = 0{,}05\) está bem dentro da faixa de significância prática.

6.3.9 Valor-p \(= 0{,}527\)

6.3.11 Valor-p \(= 0{,}014\)

6.3.13 (a) \(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) \({}= \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\)(b) O estimador plug-in é \(\hat{\sigma}^2 = \bar{x}(1 - \bar{x})\); portanto, \(\hat{\sigma}^2 = s^2(n - 1)/n\).(c) \(\text{viés}(\hat{\sigma}^2)\) \({}= -\sigma^2/n \to 0\) quando \(n \to \infty\).

6.3.15 (a) Sim.(b) Não.

6.3.17 O valor-p 0,22 não implica que a hipótese nula²² seja correta. Pode ser que simplesmente não tenhamos tomado uma amostra grande o bastante para detectar uma diferença.

6.4.1 \(m_3 \pm z_{(1+\gamma)/2}\, s_3/\sqrt{n}\) \({}= (26{,}027; 151{,}373)\)

6.4.3 O estimador pelo método dos momentos²³ é \(\sqrt{m_2 - m_1^2}/m_1\). Se \(Y = cX\), então \(E(Y) = cE(X)\) e \(\Var(Y) = c^2\Var(X)\).

6.4.5 Pela função geradora de momentos²⁴, \(m_X'''(0) = 3\sigma^2\mu + \mu^3\). O estimador plug-in é \(\hat{\mu}_3 = 3(m_2 - m_1^2) \times m_1\) \({}+ m_1^3\), enquanto o estimador pelo método dos momentos de \(\mu_3\) é \(m_3 = \frac{1}{n}\sum x_i^3\).

6.4.7 A mediana amostral é estimada por \(-0{,}03\), a estimativa do primeiro quartil é \(-1{,}28\) e a do terceiro quartil é \(0{,}98\). Além disso, \(\hat{F}(2) = \hat{F}(1{,}36) = 0{,}90\).

6.4.9 O procedimento bootstrap²⁵ consiste em amostrar de uma distribuição discreta e, pelo teorema central do limite²⁶, a distribuição da média bootstrap é aproximadamente normal quando \(n\) e \(m\) são grandes. O teorema delta²⁷ justifica, sob certas condições, a normalidade aproximada de funções da média bootstrap.

6.4.11 O número máximo de valores possíveis é \(1 + \binom{n}{2} = 1 + n(n - 1)/2\). Aqui, o 0 é obtido quando \(i = j\). A amplitude amostral bootstrap \(y_{(n)} - y_{(1)}\) tem maior valor possível \(x_{(n)} - x_{(1)}\) e menor valor possível 0. Se houver muitos valores \(x_i\) repetidos na amostra bootstrap²⁸, o valor 0 ocorrerá com alta probabilidade para \(y_{(n)} - y_{(1)}\); assim, a distribuição bootstrap da amplitude amostral não será aproximadamente normal.

6.5.1 \(n/2\sigma^4\)

6.5.3 \(n/\alpha^2\)

6.5.5 \(2/\bar{x} \pm (2/\bar{x})\, z_{0{,}95}/\sqrt{2n}\) \({}= (9{,}5413 \times 10^{-4}; 1{,}5045 \times 10^{-3})\)

6.5.7 \(\hat{\alpha} \pm (\hat{\alpha}/\sqrt{n})\, z_{(1+\gamma)/2}\) \({}= (0{,}18123; 0{,}46403)\) é um intervalo de confiança 0,95, e ele não contém \(\alpha = 1 + 1/25 = 1{,}04\).

6.5.9 \(\bigl[0, \min\bigl((1 + \bar{x})^{-1} + n^{-1/2}(1 + \bar{x})^{-1} \sqrt{\bar{x}(1 + \bar{x})^{-1}}\, z_\gamma, 1\bigr)\bigr]\)

Capítulo 7

7.1.1 Com base em \(m(1, 1) = 1/20 + 2/45 + 18/80 = 23/72\), \(m(1, 2) = 1/20 + 4/45 + 6/80 = 77/360\), \(m(2, 1) = m(1, 2)\), \(m(2, 2) = 1/20 + 8/45 + 2/80 = 91/360\), as distribuições de probabilidade a posteriori²⁹ para cada uma das quatro amostras possíveis são as seguintes.

7.1.3 A probabilidade a priori³⁰ de que \(\theta\) seja positivo é 0,5, e a probabilidade a posteriori é 0,9992.

7.1.5 \(\theta^{\alpha - n - 1}e^{-\beta\theta}I_{[x_{(n)}, \infty)}(\theta) \Big/ \int_{x_{(n)}}^\infty \theta^{\alpha - n - 1}e^{-\beta\theta}\, d\theta\)

7.1.7 \(\mu \mid \sigma^2, x_1, \ldots, x_n \sim N(5{,}5353; \tfrac{4}{81}\sigma^2)\), \(1/\sigma^2 \mid x_1, \ldots, x_n \sim \text{Gama}(11; 41{,}737)\)

7.1.9 (a) \((n + 1)\theta^n I_{[0{,}4; 0{,}6]}(\theta)/(0{,}6^{n+1} - 0{,}4^{n+1})\)(b) Não.(c) A priori precisa ser maior que 0 em todos os valores do parâmetro que acreditamos serem possíveis.

7.1.11 (a) \(\Pi(\lvert\theta\rvert = 0) = 1/6\), \(\Pi(\lvert\theta\rvert = 1) = 1/3\), \(\Pi(\lvert\theta\rvert = 2) = 1/3\), \(\Pi(\lvert\theta\rvert = 3) = 1/6\); portanto, \(\lvert\theta\rvert\) não tem distribuição uniforme³¹ em \(\{0, 1, 2, 3\}\).(b) Não.

7.2.1 \(\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta + n)\Gamma(n\bar{x} + \alpha + m)} {\Gamma(n\bar{x} + \alpha)\Gamma(\alpha + \beta + n + m)}\)

7.2.3 \(E(1/\sigma^2 \mid x_1, \ldots, x_n)\) \({}= (\alpha_0 + n/2)/\beta_x\), e a moda a posteriori é \(1/\hat{\sigma}^2\) \({}= (\alpha_0 + n/2 - 1)/\beta_x\).

7.2.5 Como no Exemplo 7.2.4, a distribuição a posteriori de \(\theta_1\) é \(\text{Beta}(f_1 + \alpha_1, f_2 + \cdots + f_k + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k)\); portanto, \[ E(\theta_1 \mid x_1, \ldots, x_n) = \frac{\Gamma\bigl(n + \sum_{i=1}^k \alpha_i\bigr)\Gamma(f_1 + \alpha_1 + 1)} {\Gamma(f_1 + \alpha_1)\Gamma\bigl(n + \sum_{i=1}^k \alpha_i + 1\bigr)}, \] e, para a moda a posteriori, maximize \(\ln\bigl((\theta_1)^{f_1 + \alpha_1 - 1}(1 - \theta_1)^{\sum_{i=2}^k (f_i + \alpha_i) - 1}\bigr)\).

7.2.7 Lembre que a distribuição a posteriori de \(\theta_1\) no Exemplo 7.2.2 é \(\text{Beta}(f_1 + \alpha_1, f_2 + \cdots + f_k + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k)\). Determine o segundo momento e use \(\Var(\theta_1 \mid x_1, \ldots, x_n)\) \({}= E(\theta_1^2 \mid x_1, \ldots, x_n) - (E(\theta_1 \mid x_1, \ldots, x_n))^2\). Agora, \(0 \le f_1/n \le 1\); portanto³² \[ \Var(\theta_1 \mid x_1, \ldots, x_n) = \frac{(f_1/n + \alpha_1)\bigl(\sum_{i=2}^k (f_i/n + \alpha_i)\bigr)} {n\bigl(1 + \sum_{i=1}^k \alpha_i/n + 1/n\bigr)\bigl(1 + \sum_{i=1}^k \alpha_i/n\bigr)^2} \to 0 \] quando \(n \to \infty\).

7.2.9 A densidade preditiva a posteriori³³ de \(x_{n+1}\) é obtida tomando a média da densidade \(N(\bar{x}, (1/\tau_0^2 + n/\sigma_0^2)^{-1}\sigma_0^2)\) em relação à densidade a posteriori de \(\mu\); portanto, essa também tem de ser a distribuição preditiva a posteriori.

7.2.11 A distribuição preditiva a posteriori de \(t = x_{n+1}\) é \((n\bar{x} + \beta_0)\,\text{Pareto}(n + \alpha_0)\). Assim, a moda a posteriori é \(\hat{t} = 0\), a esperança³⁴ a posteriori é \((n\bar{x} + \beta_0)/(n + \alpha_0 - 1)\), e a variância a posteriori é \((n\bar{x} + \beta_0)^2(n + \alpha_0)/[(n + \alpha_0 - 1)^2(n + \alpha_0 - 2)]\).

7.2.13 (a) A distribuição a posteriori de \(\sigma^2\) é Gama inversa \((n/2 + \alpha_0, \beta_x)\), em que \(\beta_x = (n - 1)s^2/2\) \({}+ n(\bar{x} - \mu_0)^2/2\) \({}+ \beta_0\).(b) \(E(\sigma^2 \mid x_1, \ldots, x_n)\) \({}= \beta_x/(n/2 + \alpha_0 - 1)\).(c) Para avaliar a hipótese \(H_0 : \sigma^2 \le \sigma_0^2\), calcule a probabilidade \(\Pi(1/\sigma^2 \ge 1/\sigma_0^2 \mid x_1, \ldots, x_n)\) \({}= 1 - G(2\beta_x/\sigma_0^2; 2\alpha_0 + n)\), em que \(G(\cdot\,; 2\alpha_0 + n)\) é a fda da \(\chi^2(2\alpha_0 + n)\).

7.2.15 (a) A chance a favor de \(A\) \(= 1/\)(chance a favor de \(A^c\)).(b) \(BF(A) = 1/BF(A^c)\)

7.2.17 A probabilidade a posteriori de \(H_0\) do estatístico I é 0,0099. A probabilidade a posteriori de \(H_0\) do estatístico II é 0,0292. Portanto, o estatístico II tem o maior grau de crença a posteriori em \(H_0\).

7.2.19 Um fator de Bayes³⁵ a favor de \(A\) assume valores em \([0, \infty)\). Se \(A\) tem probabilidade a posteriori igual a 0, o fator de Bayes será 0.

7.3.1 \((3{,}2052; 4{,}4448)\)

7.3.3 A moda a posteriori é \(\hat{\mu} = (nt/\upsilon_0^2 + \mu_0/\sigma_0^2)/(n/\upsilon_0^2 + 1/\sigma_0^2)\) e \(\hat{\sigma}^2(x_1, \ldots, x_n)\) \({}= (n/\upsilon_0^2 + 1/\sigma_0^2)^{-1}\). Portanto, o intervalo de credibilidade³⁶ \(\gamma\) assintótico é \((\hat{\mu} - z_{(1+\gamma)/2}\hat{\sigma}, \hat{\mu} + z_{(1+\gamma)/2}\hat{\sigma})\).³⁷

7.3.5 Para uma amostra \((x_1, \ldots, x_n)\), a distribuição a posteriori é \(N(\bar{x}, 1/n)\) restrita a \([0, 1]\). Um algoritmo de Monte Carlo simples para a distribuição a posteriori é: 1. gere \(\eta\) de \(N(\bar{x}, 1/n)\); 2. aceite \(\eta\) se ele estiver em \([0, 1]\) e, caso contrário, volte ao passo 1. Se o valor verdadeiro \(\theta_*\) não estiver em \([0, 1]\), a taxa de aceitação será muito pequena para \(n\) grande.

7.4.1 A densidade a posteriori é proporcional a \(\lambda^{n + \alpha - 1}\exp\{-\lambda(\ln(\prod(1 + x_i)) + \beta)\}\).

7.4.3 (a) O valor máximo da preditiva a priori³⁸ é obtido quando \(\tau = 1\).(b) A posteriori de \(\theta\) dado \(\tau = 1\) é \[ \pi_1(\theta \mid 1, 1, 3) = \begin{cases} \dfrac{(1/2)(1/3)^3}{59/1728} = \dfrac{32}{59} & \theta = a\\[12pt] \dfrac{(1/2)(1/2)^2(1/8)}{59/1728} = \dfrac{27}{59} & \theta = b. \end{cases} \]

7.4.5 A preditiva a priori é dada por \[ m_{\alpha,\beta}(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, \frac{\Gamma(\alpha + n\bar{x})\Gamma(\beta + n(1 - \bar{x}))}{\Gamma(\alpha + \beta + n)}. \] Com base na preditiva a priori, escolheríamos a priori dada por \(\alpha = 1\), \(\beta = 1\).

7.4.7 A priori de Jeffreys³⁹ é \(\sqrt{n}\,\theta^{-1/2}(1 - \theta)^{-1/2}\). A distribuição a posteriori de \(\theta\) é \(\text{Beta}(n\bar{x} + 1/2, n(1 - \bar{x}) + 1/2)\).

7.4.9 A distribuição a priori é \(\theta \sim N(66, \sigma^2)\) com \(\sigma^2 = 101{,}86\).

7.4.11 Tome a priori \(\theta \sim \text{Exponencial}(\lambda)\) com \(\lambda = 0{,}092103\).

Capítulo 8

8.1.1 \(L(1 \mid \cdot) = (3/2)L(2 \mid \cdot)\); portanto, pela Seção 6.1.1, \(T\) é uma estatística suficiente. As distribuições condicionais de \(s\) são as seguintes.

8.1.3 \(\bar{x}^2 + (1 - 1/n)\sigma_0^2\)

8.1.5 UMVU para \(5 + 2\mu\)

8.1.7 \(\bar{x}/\alpha_0\)

8.1.9 \(n^{-1}\sum_{i=1}^n I_{(-1{,}1)}(X_i)\)

8.1.11 Sim.

8.2.1 Quando \(\alpha = 0{,}1\), \(c_0 = 3/2\) e \(\gamma = ((1/10) - (1/12))/(1/2) = 1/30\). O poder do teste é \(23/120\). Quando \(\alpha = 0{,}05\), \(c_0 = 2\) e \(\gamma = ((1/20) - 0)/(1/12) = 3/5\). O poder do teste é \(1/10\).

8.2.3 Por (8.2.6), o teste ótimo de tamanho 0,01 é da forma \[ \varphi_0(\bar{x}) = \begin{cases} 1 & \bar{x} \ge 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\,2{,}3263\\[6pt] 0 & \bar{x} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\,2{,}3263 \end{cases} = \begin{cases} 1 & \bar{x} \ge 2{,}0404\\[6pt] 0 & \bar{x} < 2{,}0404. \end{cases} \]

8.2.5 (a) 0(b) Suponha \(\theta > 1\). A função poder⁴⁰ é \(\beta(\theta) = 1 - 1/\theta\).

8.2.7 \(n \ge 4\)

8.2.9 O gráfico da função poder da função de teste⁴¹ UMP de tamanho \(\alpha\) fica acima do gráfico da função poder de qualquer outra função de teste de tamanho \(\alpha\).

8.3.1 \(\Pi(\theta = 1 \mid 2) = 2/5\), \(\Pi(\theta = 2 \mid 2) = 3/5\); portanto, \(\Pi(\theta = 2 \mid 2) > \Pi(\theta = 1 \mid 2)\) e aceitamos \(H_0 : \theta = 2\).

8.3.3 A regra de Bayes é dada por \((1/\tau_0^2 + n/\sigma_0^2)^{-1}(\mu_0/\tau_0^2 + n\bar{x}/\sigma_0^2)\), que converge para \(\bar{x}\) quando \(\tau_0 \to \infty\).

8.3.5 A regra de Bayes é dada por \((n\alpha_0 + \tau_0)/(n\bar{x} + \upsilon_0)\) e, pela lei fraca dos grandes números⁴², ela converge em probabilidade para \(\beta\) quando \(n \to \infty\).

8.3.7 A regra de Bayes rejeita sempre que \[ BF_{H_0} = \frac{\exp\Bigl(-\frac{n}{2\sigma_0^2}(\bar{x} - \mu_0)^2\Bigr)} {\tau_0^{-1}\Bigl(\frac{n}{\sigma_0^2} + \frac{1}{\tau_0^2}\Bigr)^{-1/2} \exp\Bigl(\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma_0^2}\Bigr)^{-1} \Bigl(\frac{\mu_0}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma_0^2}\bar{x}\Bigr)^2 - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\mu_0^2}{\tau_0^2} + \frac{n\bar{x}^2}{\sigma_0^2}\Bigr)\Bigr)} \] é menor que \((1 - p_0)/p_0\). Quando \(\tau_0^2 \to \infty\), o denominador converge para 0; portanto, no limite, nunca rejeitamos \(H_0\).

8.4.1 O modelo é dado pela coleção de funções de probabilidade \(\{\theta^{n\bar{x}}(1 - \theta)^{n - n\bar{x}} : \theta \in [0, 1]\}\) no conjunto de todas as sequências \((x_1, \ldots, x_n)\) de 0s e 1s. O espaço de ações é \(\mathcal{A} = [0, 1]\), a função de ação correta é \(A(\theta) = \theta\) e a função de perda⁴³ é \(L(\theta, a) = (\theta - a)^2\). A função de risco⁴⁴ de \(T\) é \(R_T(\theta) = \Var_\theta(\bar{x})\) \({}= \theta(1 - \theta)/n\).

8.4.3 O modelo é o conjunto de densidades \(\{(2\pi\sigma_0^2)^{-1/2}\exp\{-\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2/2\sigma_0^2\} : \mu \in R^1\}\) em \(R^n\).⁴⁵ O espaço de ações é \(\mathcal{A} = R^1\), a função de ação correta é \(A(\mu) = \mu\) e a função de perda é \(L(\mu, a) = (\mu - a)^2\). A função de risco de \(T\) é \(R_T(\mu) = \Var_\mu(\bar{x}) = \sigma_0^2/n\).

8.4.5 (a) \(R_d(a) = 1/2\), \(R_d(b) = 3/4\)(b) Não. Considere a função de risco da função de decisão⁴⁶ \(d^*\) dada por \(d^*(1) = b\), \(d^*(2) = a\), \(d^*(3) = b\), \(d^*(4) = a\).

Capítulo 9

9.1.1 A estatística de discrepância⁴⁷ observada é dada por \(D(r) = 22{,}761\) e o valor-p é \(P(D(R) > 22{,}761) = 0{,}248\), o que não sugere evidência contra o modelo.

9.1.3 (c) Os gráficos sugerem que a suposição de normalidade parece razoável.

9.1.5 As contagens observadas são dadas na tabela a seguir.

A estatística qui-quadrado é igual a 3,50 e o valor-p é dado por (\(X^2 \sim \chi^2(4)\)) \(P\bigl(X^2 \ge 3{,}5\bigr) = 0{,}4779\). Portanto, não temos evidência contra a correção do modelo Uniforme.

9.1.7 (a) A probabilidade do evento \(s = 3\) é 0 com base na medida de probabilidade⁴⁸ \(P\) que tem \(S\) como suporte. O valor-p mais apropriado é 0.(b) \(0{,}729\)

9.1.9 Não.

9.1.11 (a) A função de probabilidade condicional⁴⁹ de \((x_1, \ldots, x_n)\) é \[ \theta^{n\bar{x}}(1 - \theta)^{n(1 - \bar{x})} \Big/ \binom{n}{n\bar{x}} \theta^{n\bar{x}}(1 - \theta)^{n(1 - \bar{x})} = 1 \Big/ \binom{n}{n\bar{x}}. \](b) Hipergeométrica\((n, \lfloor n/2 \rfloor, n\bar{x}_0)\)(c) \(0{,}0476\)

9.2.1 (a) Não.(b) O valor-p é \(1/10\), então há pouca evidência de conflito entre a priori e dados⁵⁰.(c) O valor-p é \(1/300\), então há alguma evidência de conflito entre a priori e dados.

9.2.3 Podemos escrever \(\bar{x} = \mu + z\), em que \(z \sim N(0, \sigma_0^2/n)\) é independente de \(\mu \sim N(\mu_0, \tau_0^2)\).

9.2.5 O valor-p para verificar o conflito entre a priori e dados é 0. Logo, há com certeza um conflito entre a priori e dados.

Capítulo 10

10.1.1 Para quaisquer \(x_1, x_2\) (que ocorram com probabilidade positiva) e \(y\), temos \(P(Y = y \mid X = x_1)\) \({}= P(Y = y \mid X = x_2)\). Assim, \(P(X = x_1, Y = y)\) \({}= P(X = x_2, Y = y)P(X = x_1)/P(X = x_2)\), e somar isso em \(x_1\) leva a \(P(X = x_2, Y = y) = P(X = x_2)P(Y = y)\). Para a recíproca⁵¹, mostre que \(P(Y = y \mid X = x) = P(Y = y)\).

10.1.3 \(X\) e \(Y\) são relacionadas.

10.1.5 As distribuições condicionais \(P(Y = y \mid X = x)\) mudam com \(x\) sempre que \(X\) não é degenerada.

10.1.7 Se a distribuição condicional⁵² do tempo de vida⁵³ dados diversos hábitos de fumo muda, podemos concluir que essas duas variáveis são relacionadas, mas não podemos concluir que essa relação é uma relação de causa e efeito, por causa da possível existência de variáveis de confusão.

10.1.9 O pesquisador deve retirar uma amostra aleatória da população de eleitores e pedir que eles meçam sua atitude em relação a um determinado partido político numa escala que vai de favoravelmente disposto a desfavoravelmente disposto. Em seguida, o pesquisador deve selecionar aleatoriamente metade dessa amostra para ser exposta a uma propaganda negativa, enquanto a outra metade é exposta a uma propaganda positiva. Depois, todos devem ser solicitados a medir sua atitude em relação ao mesmo partido político na mesma escala. Em seguida, compare a distribuição condicional da variável resposta⁵⁴ \(Y\) (a mudança de atitude de antes de ver a propaganda para depois), dado o preditor⁵⁵ \(X\) (tipo de propaganda a que foi exposto), usando as amostras para fazer inferência sobre essas distribuições.

10.1.11 (a) \(\{(0, 100), (1, 100)\}\)(b) Não foi retirada uma amostra da população de interesse. Os indivíduos envolvidos no estudo se ofereceram como voluntários e, como grupo, podem ser muito diferentes da população toda.(c) Devemos agrupar os indivíduos de acordo com seu peso inicial \(W\) em grupos homogêneos (blocos) e então aplicar aleatoriamente os tratamentos aos indivíduos de cada bloco.

10.1.13 (a) A variável resposta poderia ser o número de vezes que um indivíduo assistiu ao programa. Uma variável preditora⁵⁶ adequada é se ele recebeu ou não o folheto.(b) Sim, já que controlamos a atribuição da variável preditora.

10.1.15 \(W\) tem relação com \(Y\) e \(X\) tem relação com \(Y\).

10.1.17 (a)

(b)

(c)

(d)

(e) Sim.

10.1.19 \(X\) e \(Y\) são relacionadas. Vemos que só a variância da distribuição condicional muda quando mudamos \(X\).

10.1.21 A correlação⁵⁷ é 0, mas \(X\) e \(Y\) são relacionadas.

10.2.1 A estatística qui-quadrado é igual a \(X_0^2 = 5{,}7143\) e, com \(X^2 \sim \chi^2(2)\), o valor-p é igual a \(P(X^2 > 5{,}7143) = 0{,}05743\). Portanto, não temos evidência contra a hipótese nula de que não há diferença nas distribuições das tempestades entre os dois anos, pelo menos ao nível 0,05.⁵⁸

10.2.3 A estatística qui-quadrado é igual a \(X_0^2 = 0{,}10409\) e, com \(X^2 \sim \chi^2(1)\), o valor-p é igual a \(P(X^2 > 4{,}8105) = 0{,}74698\). Portanto, não temos evidência contra a hipótese nula de que não há relação entre os dois dígitos.⁵⁹

10.2.5 (a) A estatística qui-quadrado é igual a \(X_0^2 = 10{,}4674\) e, com \(X^2 \sim \chi^2(4)\), o valor-p é igual a \(P(X^2 > 10{,}4674) = 0{,}03325\). Portanto, temos alguma evidência contra a hipótese nula de que não há relação entre a cor do cabelo e o sexo.(c) Os resíduos padronizados são dados na tabela a seguir. Todos parecem razoáveis, de modo que nada se destaca como explicação de por que o modelo de independência não se ajusta. No geral, parece que um tamanho da amostra⁶⁰ grande detectou uma diferença pequena.

10.2.7 Devemos primeiro gerar um valor de \(X_1 \sim \text{Dirichlet}(1, 3)\). Em seguida, gere \(U_2\) da distribuição Beta\((1, 2)\) e faça \(X_2 = (1 - X_1)U_2\). Depois, gere \(U_3\) da distribuição Beta\((1, 1)\) e faça \(X_3 = (1 - X_1 - X_2)U_3\). Por fim, faça \(X_4 = 1 - X_1 - X_2 - X_3\).

10.2.9 Então há 36 pares possíveis \((i, j)\), para \(i, j = 1, \ldots, 6\). Seja \(f_{ij}\) a frequência de \((i, j)\) e calcule a estatística qui-quadrado \[ X^2 = \sum_{i=1}^{6} \sum_{j=1}^{6} \bigl(f_{ij} - f_{i\cdot} f_{\cdot j}/n\bigr)^2 \big/ \bigl(f_{i\cdot} f_{\cdot j}/n\bigr). \] Calcule o valor-p \(P(\chi^2(25) > X^2)\).

10.2.11 Olhamos as diferenças \(\bigl|f_{ij} - f_{i\cdot} f_{\cdot j}/n\bigr|\) para ver quão grandes elas são.

10.3.1 \(\bar{x}\)

10.3.3 \(\bar{x}\)

10.3.5 (b) \(y = 29{,}9991 + 2{,}10236x\)(e) O gráfico dos resíduos padronizados contra \(X\) indica muito claramente que há um problema com esse modelo.(f) Com base no item (e), não é apropriado calcular intervalos de confiança para o intercepto e a inclinação.(g) Nada pode ser concluído sobre a relação entre \(Y\) e \(X\) com base nesse modelo, já que determinamos que ele é inadequado.(h) \(R^2 = 486{,}193/7842{,}01 = 0{,}062\), que é muito baixo.

10.3.7 (b) \(b_2 = 1{,}9860\) e \(b_1 = 58{,}9090\)(d) O resíduo padronizado⁶¹ da nona semana se afasta dos outros resíduos do item (c). Isso fornece alguma evidência de que o modelo não está correto.(e) O intervalo de confiança para \(\beta_1\) é \([44{,}0545; 72{,}1283]\) e o intervalo de confiança para \(\beta_2\) é \([0{,}0787; 3{,}8933]\).(f) A tabela ANOVA é a seguinte.

Então a estatística \(F\) é \(F = 5{,}3821\) e \(P(F(1, 10) \ge 5{,}3821) < 0{,}05\), pela Tabela D.5. Logo, concluímos que há evidência contra a hipótese nula de que não há relação linear entre a resposta e o preditor. (g) \(R^2 = 0{,}3499\), então quase 35% da variação observada na resposta é explicada por mudanças no preditor.

10.3.9 Em geral, \(E(Y \mid X) = \exp(\beta_1 + \beta_2 X)\) não é um modelo de regressão linear simples⁶², já que não pode ser escrito na forma \(E(Y \mid X) = \beta_1^* + \beta_2^* V\), em que \(V\) é uma variável observada e os \(\beta_i^*\) são valores de parâmetros não observados.

10.3.11 Podemos escrever \(E(Y \mid X) = E(Y \mid X^2)\) nesse caso e \(E(Y \mid X^2) = \beta_1 + \beta_2 X^2\); então esse é um modelo de regressão linear simples, mas o preditor é \(X^2\), e não \(X\).

10.3.13 \(R^2 = 0{,}05\) indica que o modelo linear explica só 5% da variação na resposta, de modo que o modelo não terá muito poder preditivo.

10.4.1 (b) Os dois gráficos parecem razoáveis, sem indicar nenhuma preocupação séria com a correção das hipóteses do modelo.(c) A tabela ANOVA para testar \(H_0 : \beta_1 = \beta_2 = \beta_3\) é dada a seguir.

A estatística \(F\) para testar \(H_0\) é dada por \(F = 2{,}18/2{,}09 = 1{,}0431\), com valor-p \(P(F > 1{,}0431) = 0{,}39135\). Portanto, não temos evidência contra a hipótese nula de que não há diferença entre as médias condicionais de \(Y\) dado \(X\). (d) Como não encontramos nenhuma relação entre \(Y\) e \(X\), não há necessidade de calcular esses intervalos de confiança.

10.4.3 (b) Os dois gráficos indicam um possível problema com as hipóteses do modelo.(c) A tabela ANOVA para testar \(H_0 : \beta_1 = \beta_2\) é dada a seguir.

A estatística \(F\) para testar \(H_0\) é dada por \(F = 0{,}114/2{,}686 = 0{,}04\) e, com o valor-p \(P(F > 0{,}04) = 0{,}841\), não temos nenhuma evidência contra a hipótese nula de que não há diferença entre as médias condicionais de \(Y\) dado Queijo.

10.4.5 (b) Os dois gráficos parecem razoáveis, sem indicar nenhuma preocupação com a correção das hipóteses do modelo.(c) A tabela ANOVA para testar \(H_0 : \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4\) é a seguinte.

A estatística \(F\) para testar \(H_0\) é dada por \(F = 6{,}414/0{,}589 = 10{,}89\) e, com valor-p \(P(F > 10{,}89) = 0{,}00019\), temos forte evidência contra a hipótese nula de que não há diferença entre as médias condicionais de \(Y\), dado o preditor. (d) Os intervalos de confiança 0,95 para a diferença (média do nível da coluna) \(-\) (média do nível da linha) entre as médias são dados na tabela a seguir.⁶³

10.4.7 (b) Tratando as notas como amostras separadas, a tabela ANOVA para testar qualquer diferença entre a nota média em cálculo e a nota média em estatística é a seguinte.

A estatística \(F\) para testar \(H_0 : \beta_1 = \beta_2\) é dada por \(F = 36{,}45/38{,}07 = 0{,}95745\), com o valor-p igual a \(P(F > 0{,}95745) = 0{,}3408\). Portanto, não temos nenhuma evidência contra a hipótese nula de que não há diferença entre as médias condicionais de \(Y\) dada a Disciplina.

Os dois gráficos de resíduos parecem razoáveis, sem indicar nenhuma preocupação com a correção das hipóteses do modelo. (c) Tratando esses dados como medidas repetidas, a diferença média entre a nota em cálculo e a nota em estatística é dada por \(\bar{d} = -2{,}7\), com desvio padrão⁶⁴ \(s = 2{,}00250\). O valor-p para testar \(H_0 : \mu_1 = \mu_2\) é 0,0021, então temos forte evidência contra a hipótese nula. Logo, concluímos que há uma diferença entre a nota média em cálculo e a nota média em estatística. Um gráfico de probabilidade normal⁶⁵ dos dados não indica nenhum motivo para duvidar das hipóteses do modelo.(d) \(r_{xy} = 0{,}944155\)

10.4.9 Quando \(Y_1\) e \(Y_2\) são medidos no mesmo indivíduo, temos que \(\Var(Y_1 - Y_2)\) \({}= 2(\Var(Y_1) - \Cov(Y_1, Y_2)) > 2\Var(Y_1)\), já que \(\Cov(Y_1, Y_2) < 0\). Se tivéssemos medido \(Y_1\) e \(Y_2\) em indivíduos selecionados aleatoriamente de forma independente, teríamos \(\Var(Y_1 - Y_2) = 2\Var(Y_1)\).

10.4.11 A diferença entre as duas respostas \(Y_1\) e \(Y_2\) tem distribuição normal, isto é, \(Y_1 - Y_2 \sim N(\mu, \sigma^2)\).

10.4.13 (1) A distribuição condicional de \(Y\), dado \((X_1, X_2)\), depende de \((X_1, X_2)\) só por meio de \(E(Y \mid X_1, X_2)\), e o erro \(Z = Y - E(Y \mid X_1, X_2)\) é independente de \((X_1, X_2)\). (2) O erro \(Z = Y - E(Y \mid X_1, X_2)\) tem distribuição normal. (3) \(X_1\) e \(X_2\) não interagem.

10.5.1 \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} e^{-t}\bigl(1 + e^{-t}\bigr)^{-2}\, dt = \bigl(1 + e^{-t}\bigr)^{-1} \Big|_{-\infty}^{x} = \bigl(1 + e^{-x}\bigr)^{-1} \to 1 \] quando \(x \to \infty\), e \(p = F(x)\) implica \(x = \ln(p/(1 - p))\).

10.5.3 Seja \(l = l(p) = \ln(p/(1 - p))\) o log da chance, de modo que \(e^l = p/(1 - p) = 1/(1/p - 1)\). Logo, \(e^l/(1 + e^l) = p\); agora substitua \(l = \beta_1 + \beta_2 x\).

10.5.5 \(P(Y = 1 \mid X_1 = x_1, \ldots, X_k = x_k)\) \({}= 1/2 + \arctan(\beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k)/\pi\)

Capítulo 11

11.1.1 (a) 0(b) 0(c) \(1/3\)(d) \(2/3\)(e) 0(f) \(4/9\)(g) 0(h) \(1/9\)(i) 0(j) 0(k) \(0{,}00925\)(l) 0(m) \(0{,}0987\)

11.1.3 (a) \(5/108\)(b) \(5/216\)(c) \(5/72\)(d) Pela lei da probabilidade total⁶⁶, \(P(X_3 = 8) = P(X_1 = 6,\ X_3 = 8)\) \({}+ P(X_1 = 8,\ X_3 = 8)\).

11.1.5 (a) Aqui, \(P(\tau_c < \tau_0) = 0{,}89819\). Isto é, se você começa com US$ 9 e faz repetidamente apostas de US$ 1 com probabilidade 0,499 de ganhar cada aposta, então a probabilidade de você chegar a US$ 10 antes de perder todo o seu dinheiro é igual a 0,89819.(b) \(0{,}881065\)(c) \(0{,}664169\)(d) \(0{,}0183155\)(e) \(4 \times 10^{-18}\)(f) \(2 \times 10^{-174}\)

11.1.7 Usamos o Teorema 11.1.1. (a) \(1/4\)(b) \(3/4\)(c) \(0{,}0625\)(d) \(1/4\)(e) 0(f) 1(g) Sabemos que a fortuna inicial é 5; então, para chegar a 7 em dois passos, o passeio tem de ter estado em 6 depois do primeiro passo.

11.1.9 (a) \(18/38\)(b) \(0{,}72299\)(c) \(0{,}46056\)(d) 0(e) No longo prazo, o jogador perde dinheiro.

11.2.1 (a) \(0{,}7\)(b) \(0{,}1\)(c) \(0{,}2\)(d) \(1/4\)(e) \(1/4\)(f) \(1/2\)(g) \(0{,}3\)

11.2.3 (a) \(P_0(X_2 = 0) = 0{,}28\), \(P_0(X_2 = 1) = 0{,}72\), \(P_1(X_2 = 0) = 0{,}27\), \(P_1(X_2 = 1) = 0{,}73\)(b) \(P_0(X_3 = 1) = 0{,}728\)

11.2.5 (a) \(1/2\)(b) 0(c) \(1/2\)(d) \(1/2\)(e) \(1/10\)(f) \(2/5\)(g) \(37/100\)(h) \(11/20\)(i) 0(j) 0(k) 0(l) 0(m) Não.

11.2.7 Essa cadeia é duplamente estocástica, isto é, tem \(\sum_i p_{ij} = 1\) para todo \(j\). Logo, a distribuição uniforme (\(\pi_1 = \pi_2 = \pi_3 = \pi_4 = 1/4\)) tem de ser uma distribuição estacionária⁶⁷.

11.2.9 (a) Aumentando ou diminuindo um passo de cada vez, vemos que, para todos \(i\) e \(j\), temos \(p_{ij}^{(n)} > 0\) para algum \(n \le d\).(b) Cada estado tem período 2.(c) Se \(i\) e \(j\) distam dois ou mais, então \(p_{ij} = p_{ji} = 0\). Se \(j = i + 1\), então \(\pi_i p_{ij}\) \({}= (1/2^d)((d - 1)!/i!(d - i - 1)!)\), enquanto \(\pi_j p_{ji}\) \({}= (1/2^d)((d - 1)!/i!(d - i - 1)!)\).

11.2.11 (a) Essa cadeia é irredutível⁶⁸.(b) A cadeia é aperiódica⁶⁹.(c) \(\pi_1 = 2/9\), \(\pi_2 = 3/9\), \(\pi_3 = 4/9\)(d) \(\lim_{n \to \infty} P_1(X_n = 2)\) \({}= \pi_2 = 3/9\) \({}= 1/3\); então \(P_1(X_{500} = 2) \approx 1/3\).

11.2.13 \(P_1(X_1 + X_2 \ge 5) = 0{,}54\)

11.2.15 (a) A cadeia é irredutível.(b) A cadeia não é aperiódica.

11.3.1 Primeiro, escolha qualquer valor inicial \(X_0\). Então, dado \(X_n = i\), seja \(Y_{n+1} = i + 1\) ou \(i - 1\), com probabilidade \(1/2\) cada. Seja \(j = Y_{n+1}\) e seja \(\alpha_{ij} = \min\bigl(1, e^{-(j - 13)^4 + (i - 13)^4}\bigr)\). Então faça \(X_{n+1} = j\) com probabilidade \(\alpha_{ij}\); caso contrário, faça \(X_{n+1} = i\) com probabilidade \(1 - \alpha_{ij}\).

11.3.3 Primeiro, escolha qualquer valor inicial \(X_0\). Então, dado \(X_n = i\), seja \(Y_{n+1} = i + 1\) com probabilidade \(7/9\) ou \(Y_{n+1} = i - 1\) com probabilidade \(2/9\). Seja \(j = Y_{n+1}\) e, se \(j = i + 1\), seja \[ \alpha_{ij} = \min\Bigl(1,\ e^{-j^4 - j^6 - j^8}(2/9) \big/ e^{-i^4 - i^6 - i^8}(7/9)\Bigr) \] ou, se \(j = i - 1\), seja \[ \alpha_{ij} = \min\Bigl(1,\ e^{-j^4 - j^6 - j^8}(7/9) \big/ e^{-i^4 - i^6 - i^8}(2/9)\Bigr). \] Então faça \(X_{n+1} = j\) com probabilidade \(\alpha_{ij}\); caso contrário, faça \(X_{n+1} = i\) com probabilidade \(1 - \alpha_{ij}\).

11.3.5 Sejam \(\{Z_n\}\) i.i.d. \(\sim N(0, 1)\). Primeiro, escolha qualquer valor inicial \(X_0\). Então, dado \(X_n = x\), seja \(Y_{n+1} = X_n + \sqrt{10}\, Z_{n+1}\). Seja \(y = Y_{n+1}\) e seja \[ \alpha_{xy} = \min\bigl(1,\ \exp\{-y^4 - y^6 - y^8 + x^4 + x^6 + x^8\}\bigr). \] Então faça \(X_{n+1} = y\) com probabilidade \(\alpha_{xy}\); caso contrário, faça \(X_{n+1} = x\) com probabilidade \(1 - \alpha_{xy}\).

11.4.1 \(C = 12/5\)

11.4.3 \(p = 1/3\)

11.4.5 \(P(X_n = 4) = 5/8\).⁷⁰

11.4.7 (a) Aqui, \(E(X_{n+1} \mid X_n)\) \({}= (1/4)(3X_n)\) \({}+ (3/4)(X_n/3)\) \({}= X_n\).(b) \(T\) é não negativo⁷¹, assume valores inteiros e não olha para o futuro; logo, é um tempo de parada⁷².(c) \(E(X_T) = X_0 = 27\).(d) \(P(X_T = 1) = 27/40\)

11.5.1 (a) \(1/2\)(b) 0(c) \(1/4\)(d) Temos \(P\bigl(Y_1^{(M)} \ge 1\bigr)\) \({}= P\bigl(Y_{M/M}^{(M)} \ge \sqrt{M}/\sqrt{M}\bigr)\). Logo, \(P\bigl(Y_1^{(1)} \ge 1\bigr) = 1/2\), \(P\bigl(Y_1^{(2)} \ge 1\bigr) = 1/4\), \(P\bigl(Y_1^{(3)} \ge 1\bigr) = 3/8\), \(P\bigl(Y_1^{(4)} \ge 1\bigr) = 5/16\).

11.5.3 (a) \(P(B_2 \ge 1) = \Phi(-1/\sqrt{2})\)(b) \(P(B_3 \le -4) = \Phi(-4/\sqrt{3})\)(c) \(P(B_9 - B_5 \le 2{,}4) = 1 - \Phi(-2{,}4/2)\)(d) \(P(B_{26} - B_{11} > 9{,}8)\) \({}= \Phi(-9{,}8/\sqrt{15})\)(e) \(P(B_{26{,}3} \le -6)\) \({}= \Phi(-6/\sqrt{26{,}3})\)(f) \(P(B_{26{,}3} \le 0)\) \({}= \Phi(0/\sqrt{26{,}3})\) \({}= 1/2\)

11.5.5 \(E(B_{13} B_8) = 8\)

11.5.7 (a) \(3/4\)(b) \(1/4\)(c) A resposta do item (a) é maior porque \(-5\) está mais perto de \(B_0 = 0\) do que 15, enquanto \(-15\) está mais longe do que 5.(d) \(1/4\)(e) Temos \(3/4 + 1/4 = 1\), como tem de ser, já que os eventos dos itens (a) e (d) são complementares.

11.5.9 \(E(X_3 X_5) = 61{,}75\)

11.5.11 (a) \(P(X_{10} > 250) = \Phi(-20/1\sqrt{10})\)(b) \(P(X_{10} > 250) = \Phi(-20/4\sqrt{10})\)(c) \(P(X_{10} > 250) = \Phi(-20/10\sqrt{10})\)(d) \(P(X_{10} > 250) = \Phi(-20/100\sqrt{10})\)

11.6.1 (a) \(e^{-14}14^{13}/13!\)(b) \(e^{-35}35^{3}/3!\)(c) \(e^{-42}42^{20}/20!\)(d) \(e^{-350}350^{340}/340!\)(e) 0(f) \(\bigl(e^{-14}14^{13}/13!\bigr)\bigl(e^{-21}21^{7}/7!\bigr)\)(g) 0

11.6.3 \(P(N_2 = 6) = e^{-2/3}(2/3)^6/6!\), \(P(N_3 = 5) = e^{-3/3}(3/3)^5/5!\)

11.6.5 \(P(N_{2{,}6} = 2 \mid N_{2{,}9} = 2)\) \({}= (2{,}6/2{,}9)^2\)